Exo défi : Fonction périodique

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Exo défi : Fonction périodique
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Nightmare  22-11-07 à 21:07
Bonsoir à tous 

Je vous propose un petit exercice que j'ai bien aimé résoudre.

1) Montrer qu'un sous-groupe additif de R est soit discret soit dense dans R.

2) Montrer qu'une fonction continue périodique ayant 1 et  pour période est constante.

A vous de jouer.

Jord
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infophilere : Exo défi : Fonction périodique  22-11-07 à 21:15
Salut Jord 

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Pour le premier je bosse dessus en ce moment pour mon DM, on montre que si G est un sg additif de R alors G inter R+* admet une borne inférieure a, si a>0 alors G est discret sinon si a=0 alors il est dense dans R.
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plumemeteorere : Exo défi : Fonction périodique  22-11-07 à 21:28
bonsoir Nightmare

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si le sous-groupe n'est pas dixcret, il a une partie dense dans un intervalle [a;b]

puisqu'il s'agit d'un groupe, on peut soustraire a de tous les nombres de l'intervalle pour obtenir [0;b-a] qui est dense et fait partie du sous-groupe

ensuite, on construit progressivement les intervalles de la forme [rb-ra;(r+1)b-(r+1)a] tous inclus dans le sous-groupe, qui forment ensembe un ensemble dense allant de moins infini à plus infini
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Nightmarere : Exo défi : Fonction périodique  22-11-07 à 21:46
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Belle démonstration plumeteore, j'avais pour ma part la même que Kevin
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Nightmarere : Exo défi : Fonction périodique  23-11-07 à 17:40
Pas d'amateurs pour la 2éme ? 
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infophilere : Exo défi : Fonction périodique  23-11-07 à 22:21
Bonsoir 

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J'ai peut-être une idée mais j'ai pas le temps de développer j'ai déjà le DM à finir :

On montre facilement que l'ensemble des périodes est un sous groupe additif de R, ça peut peut-être être utile 
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Nightmarere : Exo défi : Fonction périodique  23-11-07 à 22:24
salut 

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Oui ça commence bien 
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lafol re : Exo défi : Fonction périodique  23-11-07 à 22:27
bonsoir

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c'est lié au fait qu'aucun  avec a et b entiers n'est rationnel ?
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Nightmarere : Exo défi : Fonction périodique  23-11-07 à 22:29
Lafol > 
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 oui  
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lafol re : Exo défi : Fonction périodique  23-11-07 à 22:42
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ce que j'ai dit est inexact : j'aurais dû préciser "avec b non nul" ...
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infophilere : Exo défi : Fonction périodique  23-11-07 à 22:47
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Cool j'essaierai de continuer alors 

Mais à mon avis avant ça j'aurai quelques questions sur mon dm à poser sur l'ile demain ^^

Bonne soirée !
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Nightmarere : Exo défi : Fonction périodique  23-11-07 à 22:48
lafol > 
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Oui ce n'est pas important

Kevin >  Cliquez pour afficher
N'hésite pas si je peux t'aider 
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infophilere : Exo défi : Fonction périodique  23-11-07 à 22:51
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Merci Jord c'est sympa 

A demain alors ^^
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fusionfroidere : Exo défi : Fonction périodique  23-11-07 à 22:58
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Alors on lit les blanqués 
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1 Schumi 1re : Exo défi : Fonction périodique  24-11-07 à 07:52
Salut, 

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1) Résultat archi méga trop classiquissime sur les sous-groupes de R.

2) Soit f une telle fonction. Il est triviale que l'ensemble de ses périodes soit un sous-groupe de R. S'il était discret, il serait monogène et donc il existerait a et b entier tel que pi=a/b. Absurde par pi n'est pas rationnel.

L'ensemble G de ces périodes est donc dense dans R.

Soit x dans R. Il existe une suite u d'éléments de G qui converge vers x. f(u) est une suite constante et égale à f(0). Donc f(x)=f(0).

  Posté par 
Nightmarere : Exo défi : Fonction périodique  24-11-07 à 11:58
Ayoub > 
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 C'est bon  Oui le premier résultat est très classique mais je l'ai mis comme indice pour le deuxième