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Exo défi: Hasse-Minkowski en dimension 3.
Bonjour à tous 
Mon dernier exo de khôlle en date. Un pure merveille comme toujours dûe à Simon (alias Ksilver).
On prend E=Q3 et q une forme quadratique sur E.
1) Un 'ti lemme: montrer qu'il existe ,
deux à deux premiers entre eux sans facteur carré tels que dans une certaine base de E, q soit de la forme
Vu qu'on va s'intéresser uniquement aux zéros de q, on supposera dans la suite que q est de la forme q(x,y,z)=ax²+by²-cz² où a,b,c sont des entiers positifs ou nuls deux à deux premiers entre eux et sans facteurs carrés.
On suppose maintenant que q vérifie les propriétés suivantes:
i) q est non dégénérée.
ii)Pour tout nombre premier p, pour tout k>0, il existe (a,b,c) dans Z3 tel que q(x,y,z)=0(p^k) et .
2) Montrez qu'il existe L et M deux formes linéaires telles que q(x,y,z)=L(x,y,z)*M(x,y,z) (abc).
3) Montrez qu'il existe deux couples (x1,y1,z1) et (x2,y2,z2) distincts tels que et
4) En déduire qu'il existe (x,y,z) tel que q(x,y,z)=0 ou abc.
5) Conclure.
J'ai pas été sympa sur la dernière question: ya une stûûûce introuvable pour éliminer le cas "abc" mais sur c'te ordi j'ai plus mes identifiants du forum de la classe surlequel précisemment se trouve ladite stûce. Je vous laisse donc chercher en attendant...
La 2) n'est pas vraiment conventionnelle non plus, n'hésitez pas à demander un nain dix.
Bonne réflexion.
Dis donc le théorème de Hasse Minkowski en prepa, c'est du sérieux... Cela dit parler de Hasse Minkowski, sans parler de nombre p-adiques ca enlève quand meme beaucoup de charme au théorème... Et d'ailleurs seuls les cas n=3 et surtout n=4 sont délicats, pour n=2 et n>5 ca roule tout seul (n étant le nombre de variables).
Si tu as personne, je veux bien m'attaquer au probleme (mais vu que je connais la démo y aura pas trop de challenge, je préfère le laisser à ceux qui découvrent ce (magnifique) théorème)
Il m'a annoncé le résultat dans son cadre le plus général (des zéros dans Z/p^kZ et dans tous les complétés de Q...) mais bon en une heure, faut être modeste... 
La démo est assez sympathique, je dois l'avouer même si sur le coup j'ai pas vraiment compris ce qu'on faisait...
des zéros dans Z/p^kZ et dans tous les complétés de Q
Ben non justement dans sa forme générale on ne parle pas de zeros dans Z/p^kZ, dans sa forme générale ce théorème prend la forme suivante, une forme quadratique non dégénérée représente 0 dans Q ssi elle représente 0 dans tous les complétés de Q (c'est a dire R et tous les corps p-adiques).
Mais assez parlé, un peu d'action, je dis que f représente 0 ssi f admet un zero non trivial, et il est possible que j'utilise des faits tres connus sur les formes quadratiques (binaires entre autres) que je ne redémontrerai pas, du style une forme binaire (non dégénérée représente 0 ssi son déterminant est l'opposé carré
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ab, Notons le fait remarquable suivant c'est que nous avons utilisé nulle part le fait que f représentait 0 dans Q_2 (ou encore que f admettait des zeros dans tous les Z/2^nZ, c'est en fait un fait général que si f représente zero dans tous les Q_p sauf peut etre 1, alors elle le représente dans tous, et c'est plus ou moins équivalent a la loi de réciprocité quadratique (plutot plus que moins d'ailleurs), et ça intervient de façon cruciale dans la preuve pour 4 variables..
Voila c'est avec le sentiment du devoir accompli que je vais me coucher
Salut
Cliquez pour afficherC'est quoi une forme de degré 3? Un truc de la forme f(x,y,z)=ax^3+y^3+cz^3?
Oui tu as raison, cela dit mon argument se généralise à une extension finie de Q (Na!).
Une forme c'est une polynome homogène, donc c'est un truc de la forme ax^3+bx^2y+cx^2z...
En fait j'ai compris recemment pourquoi on appelait ces trucs formes, en fait les formes ca sert a créer des fonctions par quotient, par exemple tu prend le quotient de formes homogènes de meme degré, bim tu as une fonction sur l'espace projectif, tu prend le quotient de deux formes modulaires, bim tu as une fonction sur le demi plan de Poincaré, je connaissais les deux objets mais j'avais jamais fait le rapprochement.
Quant à mon degré 3, j'ai été un peu optimiste, j'arrive a trouver un polynome de degré 6 (en une seule variable) pour lequel ca ne marche pas...
autre question : il me semble qu'on utilise alors seulement les zéros dans Z/pZ une fois la forme réduite non ?
est-ce que c'est général par Hensel ? oui je crois.
Enfin je veux dire le lemme d'Hensel sert a relever des factorisation de polynomes dans Z/pZ a des factorisations dans Z_p...mais il ne marche que pour les corps locaux (ou les corps Henséliens) il ne permet pas de relever des solutions dans les corps globaux.
On peut l'ennoncer sous la forme suisvante.
Si f dans Z_p[X], (ou da admet modulo p la factorisation f=gh mod(p) avec g et h premiers entre eux alors il existe G et H tel que de deg(G)=deg(g) tels que f=GH et que les reduits de G et H mod p soient evidem
JE reprends le dernier paragraphe
Si f dans Z_p[X], (ou dans O[X], O étant l'anneau de valuation d'un corps local) admet modulo p la factorisation f=gh mod(p) avec g et h premiers entre eux alors il existe G et H tel que de deg(G)=deg(g) tels que f=GH et que les reduits de G et H mod p soient evidement g et h
Mais de toute façon on s'en fiche un peu. On a besoin que de l'existence de zéro non triviaux dans Z/p²Z. Nous, on avait pas fait de manière si explicite: on avait utilisé l'existence d'un isomorphisme d'algèbre entre les polynômes homogènes de degré 2 et k[X]. Donc pour factoriser fallait trouver un zéro lequel était donné par hypothèses...
Une pure trivialité: déjà on peut les supposer tous sans facteurs carrés, suffit de les faire rentrer dans les x,y, et z en question. Après, c'est du bidouillage: genre on divise à gauche et à droite par pgcd(a,b) et on le fait apparaître dans le "z".
Si tu veux un truc un peu moins qualitatif, je veux bien le faire au propre.
Pour sans facteur carré je suis d'accord , (a,b,c)=1 aussi mais ensuite si d divise a et b , je l'ai bien fait apparaître dans le z mézalors il se pourrait que d divise encore b et le nouveau c non ?
J'ai peut-être manqué de minutie . Je veux bien les détails.
non laisse tomber faut juste utiliser que d ne divise plus le nouveau b car il est sans facteur carré. En revanche c'est pas très clair à formuler "solutions dans Z/p^kZ avant de savoir qu'on s'est ramené à des entiers "Bref Hasse-Minkowski sans parler des Qp c'est un peu lourd.
En revanche c'est pas très clair à formuler "solutions dans Z/p^kZ avant de savoir qu'on s'est ramené à des entiers " >> Ben on formule pas, tout simplement.
Bref Hasse-Minkowski sans parler des Qp c'est un peu lourd. >> Oui enfin, en prépa, faut pas trop demander. Une khôlle ça dure qu'une heure, c'est déjà pas mal d'avoir tenté Hasse-Minkowski.
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