Exo défi> Idéaux maximaux et fonctions continues

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Exo défi> Idéaux maximaux et fonctions continues
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Arkhnor  15-12-08 à 19:21
Salut. 

Un petit exercice, où l'analyse rencontre l'algèbre. 

Citation :
Déterminer les idéaux maximaux de , muni de sa structure d'anneau habituelle. (addition et multiplication des applications)

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Nightmarere : Exo défi> Idéaux maximaux et fonctions continues  15-12-08 à 20:49
Salut 

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Première idée : Déjà, les idéaux contiennent forcément des fonctions qui s'annulent. Sinon, la fonction constante 1 serait dedans et par un jolie théorème on en déduit que l'idéal est l'espace tout entier. 

Maintenant la question plus délicate est de savoir si les idéaux de la forme {f continue telle que f(x)=0} à x fixé sont les seuls maximaux et j'ai l'impression que non 
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1 Schumi 1re : Exo défi> Idéaux maximaux et fonctions continues  15-12-08 à 22:41
Salut 

Jord >> 

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Ben si justement, c'est ça qui fait tout la beauté du résultat. 

Par contre Arkhnor n'a pas été très très sympa sur ce coup-là: ya une stûce.

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Arkhnorre : Exo défi> Idéaux maximaux et fonctions continues  16-12-08 à 08:02
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En effet, ce sont bien les seuls idéaux, reste à le démontrer. 
Citation :
Par contre Arkhnor n'a pas été très très sympa sur ce coup-là: ya une stûce.

Quand notre prof nous l'a donné en TD, il nous a laissé réfléchir 5 minutes, puis l'a corrigé en nous disant que de toute manière on trouverait jamais. 
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1 Schumi 1re : Exo défi> Idéaux maximaux et fonctions continues  16-12-08 à 09:51
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Moi c'était un nain dix donné par l'auteur (genre: "on pourra considérer..." ). Je dis ça, mais ça m'étonnerait pas que Jord ne trouve pas ladite stûce... c'est assez naturel au fond de poser ce qu'on a posé... (c'est ce qui s'appelle mettre la pression ).

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Nightmarere : Exo défi> Idéaux maximaux et fonctions continues  16-12-08 à 11:56
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Pas vraiment naturel pour moi 

J'ai essayé de raisonner par l'absurde, par compacité j'ai recouvert l'espace par des ouverts sur lesquels on peut prendre des fonctions qui ne s'annulent pas en notre point considéré. Je sais pas vraiment quoi en faire...
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Rodrigore : Exo défi> Idéaux maximaux et fonctions continues  17-12-08 à 17:45
SAlut a vous

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J'ai aps l'impression qu'il y ai vraiment d'asuce on utilise juste la quasi compacité de [0,1]
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Arkhnorre : Exo défi> Idéaux maximaux et fonctions continues  17-12-08 à 19:31
Rodrigo>
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En effet, il n'y a pas d'astuce farfelue.

Je veux bien donner une indication au besoin. 
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ottore : Exo défi> Idéaux maximaux et fonctions continues  22-12-08 à 12:52
Bonjour,

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On peut caractériser les idéaux maximaux d'une algèbre via les homomorphismes d'anneau