Exo défi : Inégalité exponentielle.

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Exo défi : Inégalité exponentielle.
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Nightmare  30-06-07 à 01:11
Bonsoir à tous 

Un petit exercice pour la nuit, si on trouve l'astuce cela prend deux secondes, c'est pourquoi je demande aux "grands" du forum de ne pas la dévoiler (s'ils la conaissent bien évidement ).

Montrer que pour tout n entier et x réel :

Niveau : 

***Edit Moi : La somme commence à k=0 et non k=1***

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xtasxre : Exo défi : Inégalité exponentielle.  30-06-07 à 01:25
Cool je suis un grand du forum, après même pas une semaine passée dessus !

La classe ! 

Merci de votre accueil en tout cas, fallait pas en faire autant ! 
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Roulianere : Exo défi : Inégalité exponentielle.  30-06-07 à 01:26
Bonsoir Nightmare,

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J'avais jamais montré cette inégalité encore, mais je veux pas mettre la démo parce que j'utilise peut-etre l'astuce. c'est un changement de variable l'astuce  ? 

Sinon, j'ai pas de |x| dans l'exponentielle pour ma part.
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Cauchyre : Exo défi : Inégalité exponentielle.  30-06-07 à 01:27
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nomisre : Exo défi : Inégalité exponentielle.  30-06-07 à 10:34
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par récurence ?
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lyonnaisre : Exo défi : Inégalité exponentielle.  30-06-07 à 12:14
Salut Nightmare 

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Tu es sur que la somme ne part pas à k = 0 ?

Parce que si c'est le cas, le résultat est immédiat d'après une prop de sup ... laquelle ? :D

Et contrairement à Rouliane, moi il me faut |x| 

Sauf erreurs 
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Nightmarere : Exo défi : Inégalité exponentielle.  30-06-07 à 13:08
Rouliane > 
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Non l'astuce n'est pas un changement de variable, mais ça peut peut être marcher, tu peux poser ta solution

lyonnais >  Cliquez pour afficher
Si tu as raison, ça commence bien à k=0 je change cela
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monrow re : Exo défi : Inégalité exponentielle.  30-06-07 à 13:12
Salut,

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Pour e^|x|: on sait que x=<|x| donc: e^x =< e^|x| donc si on a e^x on peut diréctement le changer par e^|x|..

Sinon Jord, est-ce que j'ai le niveau pour le faire ou j'abandonne?
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Roulianere : Exo défi : Inégalité exponentielle.  30-06-07 à 13:14
Nightmare >>

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Je poste ma solution dans la journée mais j'ai du faire un bétise, j'ai du  mais pas du 

Tu utilises une formule de Taylor ?
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Nightmarere : Exo défi : Inégalité exponentielle.  30-06-07 à 13:39
Rouliane > 
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Oui  
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Nightmarere : Exo défi : Inégalité exponentielle.  30-06-07 à 13:48
Monrow > 
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Tu peux le faire, il suffit d'ouvrir un livre de sup et de trouver la "formule" adéquat

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monrow re : Exo défi : Inégalité exponentielle.  30-06-07 à 13:59
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Donc j'avoue j'ai lu que je dois utiliser les formules de Taylor 

Donc je vais utiliser l'inégalité de Taylor-Lagrange sur la fonction exponentielle et sur l'intervalle [0,x]

On a: 

Et puisque:  et 

Donc: 
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Roulianere : Exo défi : Inégalité exponentielle.  30-06-07 à 14:40
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Betement j'avais pas pensé à Taylor lagrange, j'avais utilisé Taylor Laplace 
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monrow re : Exo défi : Inégalité exponentielle.  30-06-07 à 14:43
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C4est quoi taylor-laplace  je connais juste taylor-lagrange et puis taylor--young 
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Roulianere : Exo défi : Inégalité exponentielle.  30-06-07 à 14:45
Monrow >> 

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va voir ce lien : 

C'est la formule avec reste intégral 
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monrow re : Exo défi : Inégalité exponentielle.  30-06-07 à 14:47
Rouliane>> 
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ben je ne savais pas qu'elle avait le nom de Taylor-Laplace.. Je connaissais juste Formule de Taylor avec reste inégral 
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Nightmarere : Exo défi : Inégalité exponentielle.  30-06-07 à 15:09
Monrow > 
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C'est bon

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lyonnaisre : Exo défi : Inégalité exponentielle.  30-06-07 à 15:17
Nightmare 

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Ce qu'a fait monrow est excellent, mais en se plaçant sur [0,x], il suppose déjà x positif.

Donc s'il fallait chipoter, il faudrait voir les cas où l'on est sur [x,0] ou sur [0,x] ...

Enfin, l'idée et le résultat y sont :D

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monrow re : Exo défi : Inégalité exponentielle.  30-06-07 à 15:20
lyonnais>>
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 toujours ce problème avec l'intervalle [0,x] . Cette année, il me créait toujours problème avec les accroissements finis mais bon.. on peut étudier [x,o] et faire un changement de variable non? 
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gui_toure : Exo défi : Inégalité exponentielle.  21-02-08 à 17:44
Cool ce petit défi 
  Posté par 
Nightmarere : Exo défi : Inégalité exponentielle.  21-02-08 à 18:03
Jme disais que je l'avais déjà vu ^^