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La deuxième question est facile en supposant la première:

f^2(0)+g(0)=pi/4 donc f^2(+oo)+g(+oo)=pi/4 mais g(+oo)=0 donc f^2(+oo)=+/-(pi/4)^(1/2). Cependant, comme e^(-t^2)>0 alors f>0 donc f(+oo)=(pi/4)^(1/2).

Pour la première question, je suppose que le changement de variable u=x*tan(t) est judicieux. Mais ensuite, je coince (j'essaye de dériver mais j'ai toujours du x dans la primitive...)

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Comment justifies-tu la limite de g en +oo?

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En faisant le changement de variable u=tg(t):
g(x)=int 0^1 e^[-x^2(1+u^2)]/(1+u^2) du
Les règles de dérivation sous le signe somme d' une intégrale bornée où la dérivée de l' intégrande par rapport à x existe et est continue donne:
g'(x)=-2x int 0^1 e^[-x^2(1+u^2)]du=-2xe^[-x^2] int 0^1 e^[-x^2u^2] du.
Et (f^2+g)'=2ff'+g'=g'(x)+2e^[-x^2]int 0^x e^[-t^2]dt
Avec le changement de variable t=xu: int 0^x e^[-t^2]dt=x int 0^1 e^[-x^2u^2]du
d' où: (f^2+g)'=0 et f^2(x)+g(x)=f^2(0)+g(0)=pi/4

Pour u dans [0,1], 0et 0en intégrant sur [0,1]: 0oo int 0^1 e^[-x^2(1+u^2)]/(1+u^2) du =0

D'où pi/4=lim x-->oo (int 0^1 e^[-t^2]dt)^2 et int 0 ^ oo e^[-t^2]dt=rac(pi)/2

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Justification:

0<g<int_0^{pi/4} e^{-x^2}dt=pi/4*e^{-x^2}

Ensuite, c'est le théorème des Gendarmes.

P.S. Jette un petit coup d'oeil STP sur "presque involutive", je pense avoir une fonction.

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C'est bon (je m'en doutais avant même de sélectionner le blanké )

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Ok pour la justification

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Je dois à la vérité de dire que j' ai fait cet exercice il y a bien longtemps (comptons quelques dizaines d' années ) et que je suis allé puiser dans ma pauvre mémoire.
Quand on sait qu' on a déjà fait un exercice, on est motivé et avantagé...

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Les règles de dérivation sous le signe somme d' une intégrale bornée où la dérivée de l' intégrande par rapport à x existe et est continue...