Exo défi : Lampes allumées ou éteintes ? :*::*: - forum de maths

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Exo défi : Lampes allumées ou éteintes ? 
Posté par 
lyonnais  03-07-07 à 20:55
Bonsoir à tous 

Pour faire plaisir à tout le monde, voici un nouveau défi, qui demande une vraie réflexion :D

Enoncé : 

Citation :
On considère 800 lampes numérotées de 1 à 800 qui peuvent être allumées ou éteintes. Une lampe change d'état lorsque d'éteinte elle devient allumée ou encore lorsque d'allumée elle devient éteinte ( logique  ).

Au départ, toutes les lampes étant éteintes, on effectue l'une après l'autre 800 manipulations selon la règle suivante :

Manip 1 : seules les lampes dont le numéro est un multiple de 1 changent d'état ( allez je vous aide, toutes les lampes vont s'allumer :D ^^ )

Manip 2 : seules les lampes dont le numéro est un multiple de 2 changent d'état

Manip 3 : seules les lampes dont le numéro est un multiple de 3 changent d'état

...

Manip 800 : seules les lampes dont le numéro est un multiple de 800 changent d'état

Question : Quels sont les numéros des lampes allumées à la fin des 800 manipulations

Bon courage 

N'oubliez pas de blanker svp
 Posté par 
jamo re : Exo défi : Lampes allumées ou éteintes ?   03-07-07 à 21:11
Bonsoir,

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Il restera la 1, la 4, la 9, la 16 ... tous les carrés ! 
 Posté par 
Epicurienre : Exo défi : Lampes allumées ou éteintes ?   03-07-07 à 21:13
Salut, 

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Pour voir si j'ai bien compris le principe: à létape 2, il y a 400 lampes d'allumées?

Kuid
 Posté par 
simon92re : Exo défi : Lampes allumées ou éteintes ?   03-07-07 à 21:19
bonjour,

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par observation, il s'agit des carrés (d'entiers naturels)
 Posté par 
lyonnaisre : Exo défi : Lampes allumées ou éteintes ?   03-07-07 à 21:32
jamo >>

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Peut-être  Je ne veux pas donner le résultat dès maintenant.

Et donc ça te ferait combien de lampe allumée à la fin ?

A tous >>

En fait, cet exercice met en avant une propriété connue. Si vous vous sentez d'attaque, après l'avoir trouvée, démontrer là :D
 Posté par 
jamo re : Exo défi : Lampes allumées ou éteintes ?   03-07-07 à 21:35
lyonnais >>

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En fait, je la connais bien cette énigme, j'ai déjà "joué" avec une de mes classes 

la propriété concerne le nombre de diviseurs d'un entier, qui est pair pour un carré ...

Fonction indicatrice d'Euler ... 
 Posté par 
lyonnaisre : Exo défi : Lampes allumées ou éteintes ?   03-07-07 à 21:35
Epicurien >>

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Oui, mais je te donne un indice. Concentre toi sur les variations d'une lampe, pas sur le groupe. Essai les 1ers coups, tu verras une propriété apparaître, qu'il faux si possible démontrer ^^

simon92 >>

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Ca te ferais combien de lampe allumée à la fin ?
 Posté par 
Epicurienre : Exo défi : Lampes allumées ou éteintes ?   03-07-07 à 21:36
Salut,

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Somme des n premiers carrés : S=n/6*(n+1)(2n+1) qui se démontre par récurrence 

Kuid
 Posté par 
lyonnaisre : Exo défi : Lampes allumées ou éteintes ?   03-07-07 à 21:37
jamo >>

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qui est impair pour un carré 

Fonction indicatrice d'Euler ça me plait bien, ça peut-être une idée pour la démo. Tu vois un moyen d'avancer ?
 Posté par 
lyonnaisre : Exo défi : Lampes allumées ou éteintes ?   03-07-07 à 21:38
Epicurien >>

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Ce n'est pas ça, mais bien essayé. Le résultat est beaucoup plus simple. Je ne te demande pas la somme des solutions, mais le nombre de solutions ok ?
 Posté par 
jamo re : Exo défi : Lampes allumées ou éteintes ?   03-07-07 à 21:39
lyonnais >>

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oui, impair ...

mais comme je la connais, je vais laisser chercher les autres ... 
 Posté par 
lyonnaisre : Exo défi : Lampes allumées ou éteintes ?   03-07-07 à 21:40
jamo >>

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Ok. Le but ést de voir comment les gens peuvent réagir par rapport à ce type de problème.

Merci de participer en tout cas 
 Posté par 
simon92re : Exo défi : Lampes allumées ou éteintes ?   03-07-07 à 21:41
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j'en trouve 28....
 Posté par 
lyonnaisre : Exo défi : Lampes allumées ou éteintes ?   03-07-07 à 21:42
simon92 >>

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Je ne donne pas la réponse pour l'instant, mais merci d'avoir participé 
 Posté par 
simon92re : Exo défi : Lampes allumées ou éteintes ?   03-07-07 à 21:42
ok, de rien, c'était sympa
 Posté par 
simon92re : Exo défi : Lampes allumées ou éteintes ?   03-07-07 à 21:44
lyonnais, j'ai une petite JFF a proposer, avec des lampes qui s'allument et qui s'éteignent, ca t'embête si je fait le "JFF_ lanpes allumées ou éteintes 2 "?
 Posté par 
Cauchyre : Exo défi : Lampes allumées ou éteintes ?   03-07-07 à 21:46
Bonsoir,

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la lampe numéro k change d'état à une manipulation du numéro d'un diviseur de k. Elle est allumée à la fin si elle a changé d'état un nombre impair de fois c'est à dire si son nombre de diviseurs est impair(c'est les carrés qui vérifient cela). Il faut donc compter les carrés entre 1 et 800, or 28*28=784 donc il y a 28 lampes allumées.
 Posté par 
lyonnaisre : Exo défi : Lampes allumées ou éteintes ?   03-07-07 à 21:48
simon92 :

Pas de problème au contraire, je serais heureux de voir ta JFF

Cauchy >>

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Pareil que pour Simon, je ne me prononce pas pour l'instant pour laisser les autres chercher.

Je peux juste te dire (si tu ne lis pas les blankés) que tu as la même réponse que simon.

Avez-vous tous les deux faux ? 
 Posté par 
Cauchyre : Exo défi : Lampes allumées ou éteintes ?   03-07-07 à 21:51
lyonnais-->
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D'accord 
 Posté par 
plumemeteorere : Exo défi : Lampes allumées ou éteintes ?   03-07-07 à 22:21
bonjour Lyonnais

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cette curiosité arithmétique a été présentée il y a un certain temps dans Eurêka, chaîne de télévision pour la jeunesse, sous la forme d'un retournement de cartes

les numéros des lampes allumées à la fin ont un nombre impair de diviseurs

si on décompose un nombre en produits de facteurs premiers élevés chacun à une puissance, le nombre des diviseurs est le produit des nombres G supérieurs de 1 à ces exposants

pour qu'il soit impair, tous les G doivent être impairs et donc tous les exposants pairs et le nombre décomposé doit être un carré

les lampes restant allumées sont les n°s 1, 4, 9, 16, etc
 Posté par 
borneore : Exo défi : Lampes allumées ou éteintes ?   03-07-07 à 23:38
Sympa ton énigme, je ne l'avais pas vue. Surtout ne mets pas la solution trop tôt  
 Posté par 
borneore : Exo défi : Lampes allumées ou éteintes ?   04-07-07 à 00:24
Voilà

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J'ai testé les premières, et je trouve que seuls les carrés parfaits ont un nombre impair de diviseurs, et donc restent allumés

1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144	169	196	225	256	289	324	361	400	441	484	529	576	625	676	729	784

Comment le démontrer ?

Si notre nombre est un carré parfait, il s'écrit n² et ses diviseurs sont 1,n et n² (pour simplifier, je pose n premier, mais si n = m*p ça revient au même)

Ses diviseurs seront 1, n et n² c'est à dire qu'il en a 3

Si notre nombre est le carré d'un nombre non premier, n² = (mp)²

il aura comme diviseurs 1, m, p, m², p², mp, (mp)² c'est à dire 7

On peut continuer comme ça, on aura toujours un nombre impair de diviseurs pour un carré parfait.  

Si notre nombre n'est pas un carré parfait, il est soit premier, soit non premier  

S'il est premier, il a 2 diviseurs

S'il n'est pas premier, il s'écrit n = m*p

je prends m et p premiers pour simplifier

les diviseurs de n seront 1, m, p et mp  et donc il y en a 4

Etc

Bon, ce n'est pas vraiment une démo, mais intuitivement, on sent que c'est ça. 

Merci pour cette JFF  
 Posté par 
lyonnaisre : Exo défi : Lampes allumées ou éteintes ?   04-07-07 à 08:29
borneo >>

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Pas mal du tout. C'est déjà un bon début pour une démo  Bravo
 Posté par 
lyonnaisre : Exo défi : Lampes allumées ou éteintes ?   06-07-07 à 19:35
Je me permet de remonter cette énigme pour voir si ça intéresse quelqu'un d'autre 

 Posté par 
borneore : Exo défi : Lampes allumées ou éteintes ?   06-07-07 à 20:52
Merci  
 Posté par 
lyonnaisre : Exo défi : Lampes allumées ou éteintes ?   07-07-07 à 22:27
Bon personne d'autre 

Je clos donc ce défi 

Pour la correction, voir ici :  un problème sur des lampes : exo de spé math (nombre premier)

Merci notament à borneo d'avoir tenté une démonstration.

Si jamais Jamo tu veux développer l'idée avec l'indicatrice d'Euler, ne te gène pas :D

A+

Romain

 Posté par 
monrow re : Exo défi : Lampes allumées ou éteintes ?   07-07-07 à 22:31
lyonnais, c'est déjà posté?????  
 Posté par 
lyonnaisre : Exo défi : Lampes allumées ou éteintes ?   08-07-07 à 13:16
monrow >

Pas exactement, c'était avec 1000 lampes ... et là j'en ai mis 800 

Donc tu vois, ça change tout :D
 Posté par 
monrow re : Exo défi : Lampes allumées ou éteintes ?   08-07-07 à 14:16
  Posté par 
Fractalre : Exo défi : Lampes allumées ou éteintes ?   08-07-07 à 18:57
Bonjour 

Pour démontrer que n est un carré si et seulement s'il possède un nombre impair de diviseurs : 

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On décompose n en facteurs premiers : .

De plus, le nombre de diviseurs de n est donné par .

Il s'en suit alors naturellement que ce nombre est impair si et seulement si tous les  sont pairs, c'est à dire si et seulement si n est un carré. 

Fractal