Exo défi > Matrices et polynôme

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Exo défi > Matrices et polynôme
Posté par 
Nightmare  19-05-08 à 18:52
Bonsoir à tous 



Un exercice pas difficile mais dont le résultat est sympathique :



Citation :
Soit . Montrer qu'il existe un polynôme P tel que 


 Posté par 
ottore : Exo défi > Matrices et polynôme  19-05-08 à 18:55
Bonjour,

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Cayley-Hamilton
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ottore : Exo défi > Matrices et polynôme  19-05-08 à 18:56
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en fait on peut s'en tirer en remarquant que 1,A,...,A^p constitue une famille liée pour p assez grand, en fait p=n+1 convient
 Posté par 
Camélia re : Exo défi > Matrices et polynôme  20-05-08 à 14:23
Bonjour



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Selon ce que l'on sait, on finit toujours par dire que la famille des m premières puissances de A est liée pour m assez grand, on s'arrange pour que le coefficient non nul de I soit égal à 1 et on multiplie par A-1.
 Posté par 
veledare : Exo défi > Matrices et polynôme  20-05-08 à 18:41
bonsoir

>>Camélia

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on a si est le premier coefficient non nul on multiplie par

c'est cela que tu veux dire par" on s'arrange"
 Posté par 
Nightmarere : Exo défi > Matrices et polynôme  20-05-08 à 22:47
Bonsoir tout le monde 



otto et Camélia > 
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votre méthode commune est intéressante, j'avais utilisé la première méthode d'Otto avec Cayley-Hamilton. Bref, je savais que ça n'allait pas être dur pour vous (quoi que pour Otto j'avais des doutes !  )
 Posté par 
Camélia re : Exo défi > Matrices et polynôme  21-05-08 à 16:09
>veleda 



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Non, ce que je veux dire c'est que dans la combinaison linéaire nulle entre (I,...,Am) le coefficient de I est forcément non nul; sinon on aurait quelque chose du genre AB=0 et A ne serait pas inversible. Il suffit donc de prendre 1 devant I.


>Nightmare

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Il est intéressant de pouvoir faire cet exo avant de connaitre Cayley-Hamilton, qui est quand même assez élaboré. Le fait que l'on soit dans un espace de dimension finie, suffit.
 Posté par 
veledare : Exo défi > Matrices et polynôme  22-05-08 à 11:47
bonjour,

>Camélia
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j'ai compris (enfin je crois) ce que tu notes m c'est n exactement

sinon on peut avoir par exemple dans M2(C) 0I+A+A²+A3=0 avec A inversible
 Posté par 
1 Schumi 1re : Exo défi > Matrices et polynôme  22-05-08 à 17:00
Bonjour tout le monde, 



Toujours après la bataille... 



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Bon, on considère lepolynôme minimal de A. De deux choses l'une, il existe (forcément!) et de plus le coef du terme de degré 0 n'est pas nul (ça devient du fait que A est inversible).

Alors  et donc 


Sauf erreur...


 Posté par 
Nightmarere : Exo défi > Matrices et polynôme  22-05-08 à 22:19
Ayoub > 
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Oui, cela revient au même qu'avec le polynôme caractéristique
  Posté par 
Camélia re : Exo défi > Matrices et polynôme  23-05-08 à 16:16
>veleda



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J'ai enfin compris ce que tu veux dire et tu as parfaitement raison! Je tenais quand même de faire une démonstration avec des connaissances minimales, et ce n'est pas rigoureux. En fait, tu as donné la manière de l'arranger le 20/05 à 18:41! désolée pour la lenteur de compréhension...