Niveau exercices

Exo défi : N² et N équipotent

Posté par
Nightmare 14-09-07 à 22:55

Bonsoir à tous

Un exercice vu en cours que j'ai trouvé très sympathique, niveau sup donc :

Montrer que l'application $3$\rm f : \mathbb{N}^{2}\to \mathbb{N}\\ (n,k)\to \frac{1}{2}(n+k)(n+k+1)+k$ est bijective

Bon courage

_{PS : Seul membre interdit de répondre : Fractal}

Posté par nazzzzdaq (invité)re : Exo défi : N² et N équipotent 14-09-07 à 23:34

f(n,k) représente la somme de 1 à (n+k) avec l'élément k doublé.
En raisonnant par l'absurde, supposons qu'il existe (k, n) et (k',n') tel que f(k,n)=f(k',n')
cela suppose que la différence entre k et k' (ou k' et k) est égale à la somme des termes compris entre n+k+1 et n'+k' (ou n'+k'+1 et n+k). ce qui n'est possible que si k = k' et n = n'.

Donc pour tout (k , n) f(k,n)=f(k',n) => k = k' et n = n'. f est bijective

Posté par nazzzzdaq (invité)re : Exo défi : N² et N équipotent 14-09-07 à 23:50

Eu pardon, j'ai démontré l'injectivité.
La surjectivité se démontre par récurrence
...
N=f(n,k) => N+1=f(n-1,k+1)

Posté par re : Exo défi : N² et N équipotent 14-09-07 à 23:50