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L'indice de nilpotence des est il le même ou peut-il différer?

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Il peut varier.

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Oui, sinon l'énoncé n'as pas de sens on peut se ramener à un seul scalaire. On peut trouver par exemple deux matrices 2*2 telles que A+B soit nilpotentes sans que A et B le soient. Par exemple A=Id et B=-Id.

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si M est une matrice carrée d'ordre n, nilpotente d'indice de nilpotence p, alors on a p inférieur à n.
Du coup, pour tout k entre 0 et n, .
On pose donc M(x)=(A+xB)^{n}.
Pour tout x appartenant au corps, M(x) est une matrice dont les coefficients sont des fonctions polynômiales de degré inférieur ou égal à n. Mais M(x) est nulle pour n+1 valeurs de x donc M(x) est tout le temps nulle.
Ainsi, A=M(0) est nilpotente.
Pour x non nul, on regarde la limite lorsque x tend vers l'infini de .

Pour la question subsidiaire, si on a un anneau intégre, ça marche car il suffit de se placer dans le corps des fractions. Sinon, je regarde dans le cas non intégre.

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je suis bête : pour un anneau non intègre, ça ne marche plus en général.
Par exemple, prenons l'anneau
On prend B la matrice nulle d'ordre n et A la matrice diagonale dont les termes diagonaux valent 2.
Alors, A+xB=A est nilpotente d'ordre n pour une infinité de x

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Bien vu, cependant ton dernier exemple je ne le comprend pas, A et B sont nilpotentes, où est la contradiction? Tu peux expliquer ton histoire de limite aussi.

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oula, je me suis complètement trompé mais je corrige ça.

Pour mon histoire de limite, il n'y pas de sens car on est dans un corps quelconque donc je corrige :

Pour x non nul, avec y=1/x
Ici, on refait le même raisonnement qu'en haut :
On définit N(y)=(yA+B)^{n} pour tout y. C'est nul pour une infinité de y donc en particulier pour y=0, donc B est nilpotente.

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C'est bon, je l'ai : on considère les matrices carrées d'ordre 2 à coefficients dans .
On prend A la matrice nulle et B la matrice identité, alors A+xB=xI est nilpotente pour 4 valeurs (0,2,4 et 6) et on a bien 4 > 3 = 2+1
Pourtant B n'est pas nilpotente.

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Oui je me disais bien qu'il y avait un souci.

Pour ta preuve avec y, mettons que K ait n+1 éléments et que l'un des scalaires est 0 alors ton polynôme en y va être nul pour n éléments et donc on ne peut pas conclure.

Ok pour le contre-exemple Tiens c'est vrai que quand on plus un corps, l'indice de nilpotence n'est plus <=n.

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Rappel: une matrice est nilpotente si et seulement si son polynôme caractéristique
est Xⁿ. Soit

P(X,Y)=det(XI-A-YB)-Xⁿ

vu comme polynôme de (K[X])[Y]. Il est de degré n et admet n+1 racines distinctes. L'anneau K[X]
étant intègre infini, P est nul. En particulier, pour Y=0, on a det(XI-A)=Xⁿ,
donc A est nilpotente.

Si les k_i sont tous non nuls, en divisant on récupère le même problème avec
B à la place de A. Je ne sais pas conclure s'il y en a un nul.

Ce raisonnement fonctionne même si K est un anneau intègre, quitte à travailler dans son
corps de fractions. En revanche, bien qu'ayant des contrexemples dans des anneaux non intègres
je ne sais pas si l'intégrité est nécessaire.

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Je viens d'y réfléchir apparemment l'intégrité est nécessaire.

En effet soit K un anneau non intègre sans nilpotent(un anneau réduit),il existe donc a et b non nuls tels que ab=0.

Supposons n=1. Posons A=0 et B=b. Alors A+0B=0 et A+aB=0 mais B n'est pas nilpotent.

Si K possède un nilpotent b(b^k=0), on pose A=0 et B=1. ALors A+0B=0 et (A+bB)^k=b^k=0 mais B n'est pas nilpotent.

Si n différent de 1, on prend des matrices nulles partout sauf le premier coefficient a11 et on utilise le cas n=1.

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Bien joué pour ta méthode au fait

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Il me restait un petit problème si l'un des k est nul. Y-a-t-il une solution? (j'avoue que je n'ai pas trop cherché) OK Pour l'intégrité!

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Vous me faites douter de ma solution

Les coefficients de la matrice (A+xB)^n sont des polynômes de degré n à coefficients dans K.

Ils possèdent n+1 racines dans K donc sont tous nuls.

Les termes dominants de ces polynômes constituant les coefficients de B^n on en déduit que B^n=0.