Exo défi : Partie entière et divisibilité, ça colle?

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Exo défi : Partie entière et divisibilité, ça colle?
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Nightmare  02-06-07 à 14:48
Bonjour à tous 



Un petit peu d'arithmétique niveau Terminale forte:

Montrer que pour tout n entier naturel non nul :





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Nicolas_75 re : Exo défi : Partie entière et divisibilité, ça colle?  02-06-07 à 14:51
Salut Jord. 

Il ne manque rien ? 
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Nightmarere : Exo défi : Partie entière et divisibilité, ça colle?  02-06-07 à 14:54
Salut Nicolas, que manque-t-il?
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Nicolas_75 re : Exo défi : Partie entière et divisibilité, ça colle?  02-06-07 à 14:55
Des neurones dans mon cerveau. 
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Nightmarere : Exo défi : Partie entière et divisibilité, ça colle?  02-06-07 à 14:55
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Justinre : Exo défi : Partie entière et divisibilité, ça colle?  03-06-07 à 01:06
A première vu, c'est assez impressionant!
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Justinre : Exo défi : Partie entière et divisibilité, ça colle?  03-06-07 à 01:30
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Il me faudrait sommer 1+3(2n choose 2)+9(2n choose 4)+...+3^n(2n choose 2n)... Comment faire?



(J'imagine que c'est faisable.) 
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Nightmarere : Exo défi : Partie entière et divisibilité, ça colle?  03-06-07 à 01:37
Salut justin 

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Comment obtiens-tu cette somme? Je ne sais pas comment la calculer personnelement... Je n'ai pas employé cette méthode
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Justinre : Exo défi : Partie entière et divisibilité, ça colle?  03-06-07 à 01:53
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En fait je développe (1+V3)^{2n} et je factorise V3. J'obtiens deux "pâtés" dont un est celui que j'ai montré.



Je vais chercher ailleurs...
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Justinre : Exo défi : Partie entière et divisibilité, ça colle?  03-06-07 à 02:28
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J'ai une nouvelle somme, que j'ai trouvée d'une façon complètement différente:



S=(n choose 1)2^(n-1)+(n choose 3)2^{n-3}3+(n choose 5)2^{n-5}3^2+...+3^{n/2} si n pair



S=(n choose 1)2^(n-1)+(n choose 3)2^{n-3}3+(n choose 5)2^{n-5}3^2+...+2*3^{(n-1)/2} si n impair



Si j'arrive à montrer que E(2^n*V3*S)+6^n+1 est divisible par 2^{n+1} alors c'est fini.
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Justinre : Exo défi : Partie entière et divisibilité, ça colle?  04-06-07 à 11:12
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Jord,



Il me faudrait un indice. J'ai passé beaucoup de temps sur ce problème. Est-ce que "n naturel non nul" est un indice? En effet, la propriété serait vraie même pour n=0.



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Nightmarere : Exo défi : Partie entière et divisibilité, ça colle?  04-06-07 à 11:49
Un indice :



Etudier 



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Justinre : Exo défi : Partie entière et divisibilité, ça colle?  04-06-07 à 11:57
C'est marrant, j'ai étudier .
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Justinre : Exo défi : Partie entière et divisibilité, ça colle?  04-06-07 à 12:23
Ok, le problème fait beaucoup moins peur maintenant : prouver que .
  Posté par 
Justinre : Exo défi : Partie entière et divisibilité, ça colle?  04-06-07 à 12:23
... est divisible par 2^n