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Niveau exercices
Exo défi > Partition de [0,1] par des fermés. (Non résolue)
Posté par Nightmare
Bonsoir à tous 
Un exercice que j'ai eu l'occasion de résoudre aujourd'hui dont le résultat est assez stupéfiant :
Citation :
Montrer qu'on ne peut pas partitionner l'intervalle [0,1] avec une suite de fermés non vides.
Plus généralement : Montrer qu'on ne peut pas le faire non plus avec un espace métrique complet connexe et localement connexe
Montrer qu'on ne peut pas partitionner l'intervalle [0,1] avec une suite de fermés non vides.
Plus généralement : Montrer qu'on ne peut pas le faire non plus avec un espace métrique complet connexe et localement connexe
(Evidemment, résoudre la 2ème facilite grandement la résolution de la 1ère
)Bon courage.
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Pourquoi on les suppose non vide? S'ils sont vides ça marche pas non plus... :S D'intérieur non vide?
A
Bonjour,
je ne comprend pas, ce que tu appelles suite c'est une famille dénombrable ?
Sinon c'est faux.
Je fais les grandes lignes du cas général :
Citation :
Je notre E mon espace métrique complet connexe.
On suppose que
et on considère, comme le suggère carpediem : )
.
En évaluant le complémentaire, on se rend compte que
est fermé. Par complétude on peut invoquer le théorème de Baire en en déduisant qu'au moins une des frontières, qu'on notera )
, est d'intérieur non vide.
On peut alors considérer un élément x contenu à la fois dans un voisinage ouvert connexe X de et dans .
l'idée est d'aboutir à une contradiction en montrant qu'on peut trouver une autre frontière qui rencontre, ce qui est assez simple :
On a
.
On peut donc considérer b différent de a tel que
. Par connexité, on a \no= \empty)
.
Contradiction.
Je notre E mon espace métrique complet connexe.
On suppose que
En évaluant le complémentaire, on se rend compte que
On peut alors considérer un élément x contenu à la fois dans un voisinage ouvert connexe X de
l'idée est d'aboutir à une contradiction en montrant qu'on peut trouver une autre frontière qui rencontre
On a
On peut donc considérer b différent de a tel que
Contradiction.
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