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Si a est racine de P, on voit facilement que soit a+1 soit a+2 est racine de P, et ainsi de suite, donc P possède une infinité de racines.
C'est absurde, donc P ne s'annule jamais (ou est identiquement nul).
D'après le théorème de D'Alembert, P est donc constant, et on vérifie facilement que tous les polynômes constants sont solution.

Ainsi P est un polynôme constant quelconque

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Un petit problème dans la démo avec un mauvais positionnement de d'Alembert. Le fait que P possède une infinité de racines n'est pas absurde.

Effectivement les P sont constantes, ce qu'il faut c'est montrer que ce sont les seuls qui marchent. Pour cela on suppose que P est au moins de degré 1. D'après d'Alembert P admet au moins une racine que l'on note a. Alors comme tu l'as dit a+1, a+2 etc... sont des racines. Finalement P admet une infinité de racines ce qui est absurde. On en déduit que seuls les polynômes constants sont solutions.

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Un polynôme de degré n possède au plus n racines, donc s'il n'est pas identiquement nul, il est absurde qu'il possède une infinité de racines.
Non?

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Oui mais en fait tu l'as fait dans le sens inverse, du moins c'est comme ça que je lis ta démo, tu écris " P a une infinité de racine, c'est absurde donc P est constant ou identiquement nul"
Moi j'aurais plutot dit "Si P est non constant alors il admet une infinité de racine donc est identiquement nul"