Exo défi : Polynôme de Z[X]

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Exo défi : Polynôme de Z[X]
Posté par 
Nightmare  22-08-07 à 02:20
Bonsoir à tous 

Avant de dormir, un petit défi pour les terminales :

On considère un polynôme P à coefficient dans  et a,b et c trois entiers relatifs.

Montrer qu'on ne peut pas avoir 

Bon courage

Jord
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Cauchyre : Exo défi : Polynôme de Z[X]  22-08-07 à 03:17
Salut,

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je l'avais déja posté dans le forum autre donc je me tais.
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infophilere : Exo défi : Polynôme de Z[X]  22-08-07 à 13:06
Salut 

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Bon pour l'instant j'ai pas prouvé grand chose 

Donc  et 

Ainsi  et 

Donc 

On montre aussi que  et 

Mais j'ai pas encore exploité l'hypothèse, j'essaye plus tard.
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infophilere : Exo défi : Polynôme de Z[X]  22-08-07 à 13:09
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Donc a-b|b-c et b-c|c-a et a-c|b-a et là je suis cencé voir une contradiction ? 
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infophilere : Exo défi : Polynôme de Z[X]  22-08-07 à 13:13
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Ah ben a-b|b-c et b-c|a-b donc a-b = b-c ou a-b = c-b

Et je vais manger je continue après ^^
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infophilere : Exo défi : Polynôme de Z[X]  22-08-07 à 13:18
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Je crois que c'est bon, en terme de valeur absolue on a :

|a-b|=|b-c|=|c-a|

Donc la distance entre a et b est égale à celle entre b et c et celle entre c et a, et ça c'est impossible si a, b et c sont distincts.

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Nightmarere : Exo défi : Polynôme de Z[X]  22-08-07 à 13:28
Kevin > 
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Comment déduis-tu de ce que tu as trouvé dans ton premier message que (a-b)|(b-c) etc... ?
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infophilere : Exo défi : Polynôme de Z[X]  22-08-07 à 13:33
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Aie aie aie je me suis planté 

Il existe k tel que ak=P(a)+a0 et il existe k' tel que bk'=P(b)+a0 donc ak-bk'=P(a)-P(b).

Et moi dans ma tête j'ai pris k=k' 

Bon je cherche autre chose.
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Nofutur2re : Exo défi : Polynôme de Z[X]  22-08-07 à 13:33
Bonjour

---> Kevin

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J'ai lu ta solution et je crois que tu as pratiquement trouvé !!

Mais pourquoi dis tu que a|P(a)-a0 et b|P(b)-a0 implique (a-b)|P(a)-Pb)??

On obtient cette propriété simplement car chaque ak-bk est divisible par a-b.

A partir de tes critères de divisibilité, tu tires |a-b|<=|b-c|<=|c-a|<=|a-b|.

ce qui n'est possible que pour :

|a-b|=|b-c|=|c-a|

donc pour a=b=c.
  Posté par 
infophilere : Exo défi : Polynôme de Z[X]  22-08-07 à 13:36
Salut Nofutur 

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Ah oui j'ai factorisé n'importe comment en fait 

Merci !