Exo défi > Polynôme de Z[X]

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Exo défi > Polynôme de Z[X]
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Nightmare  01-03-08 à 01:29
Bonsoir à tous 

Un exercice assez coriace pour les amoureux des polynômes :

Citation :
Soit P un polynôme unitaire a coefficients dans Z dont toutes les racines complexes sont non nulles et dans le disque unité fermé. Montrer que ce sont des racines de l'unité.

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freniclere : Exo défi > Polynôme de Z[X]  01-03-08 à 09:56
Bonjour 

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J'ai loupé un truc ou il manque une hypothèse : P = 2X - 1 ?
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freniclere : Exo défi > Polynôme de Z[X]  01-03-08 à 09:58
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Unitaire ?
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blangre : Exo défi > Polynôme de Z[X]  01-03-08 à 11:49
@frenicle :

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En ajoutant unitaire, ça n'est pas "assez coriace" à mon goût 

 Posté par 
blangre : Exo défi > Polynôme de Z[X]  01-03-08 à 11:52
@frenicle :

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Pardon, pardon, je fais le malin, mais non ça n'est finalement pas si trivial que ça 

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Nightmarere : Exo défi > Polynôme de Z[X]  01-03-08 à 13:17
Oups évidemment le polynôme est unitaire je le rajoute!
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gui_toure : Exo défi > Polynôme de Z[X]  01-03-08 à 13:21
Salut Jord 

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Citation :
dans le disque unité fermé.

Ca veut dire que le module de ces solutions est  1 ? 

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Nightmarere : Exo défi > Polynôme de Z[X]  01-03-08 à 13:21
Oui c'est bien ça 
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gui_toure : Exo défi > Polynôme de Z[X]  01-03-08 à 13:24
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Bon je viens de penser à un truc, non seulement le module est  1 mais il faut montrer qu'il est égal à 1 !

Right ?

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Nightmarere : Exo défi > Polynôme de Z[X]  01-03-08 à 13:28
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Ce n'est pas suffisant, être de module 1 n'est pas équivalent à être une racine de l'unité !
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1 Schumi 1re : Exo défi > Polynôme de Z[X]  01-03-08 à 14:12
Salut tout le monde, 

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Bon, manifestement on a eux choses à vérifier: le module égal à 1 et le fait que 2pi/argument est un rationnel.

Je fais le facile: le module. 

 peut se décomposer sous la forme  où les  ne sont pas a priori deux à deux distincts.

Comme  il vient que  avec .

Donc .

 Posté par 
blangre : Exo défi > Polynôme de Z[X]  01-03-08 à 14:41
Bonjour, 

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Alors je garde les notations de 1 Schumi 1 et je prends la relève.

En considérant les polynômes , j>0, on doit pouvoir prouver que leurs coefficients sont entiers (raisonner avec les polynômes symétriques) et bornés (à la grosse chacun par 2n, je pense). Les Pj sont donc en nombre fini (et l'ensemble de leurs racines complexes aussi). En particulier, pour tout k, l'ensemble  est donc fini, cqfd.

  Posté par 
blangre : Exo défi > Polynôme de Z[X]  01-03-08 à 18:20
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Je voulais bien sûr parler de l'ensemble