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tout tes exos m'interessent, mais j'aimerai savoir a quel cours je doit me referer? quel est le chapitre qu'il faut voir? un chapitre de sup?

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Euh, rien de théoriquement bien compliqué en général. Pour celui-là, on va dire que le chapitre polynôme, c'est quand même un minimum . C'est suffisant aussi.
Des connaissance en algèbre linéaire (en dimension surtout) peuvent cependant aider à la résolution de l'exo.

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mais le chapitre polynome, c'est en prepa?

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Ben oui, évidemment.

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Soit P un polynôme répondant à la question. Notons n son degré.

P(0), P(1), ... , P(n) étant rationnels, on voit déjà, en utilisant les polynômes interpolateurs de Lagrange que P est nécessairement à coefficients rationnels.

Soit d le ppcm des dénominateurs des représentants irréductibles des coefficients non nuls de P.

Supposons par l'absurde que n>1. Soit p un nombre premier ne divisant ni d ni le numérateur a du coefficient dominant de P. soit un représentant irréductible d'un antécédent de par P :

donc et comme , p divise t.

Mais alors comme n>1, est un entier divisible par p. Contradiction car

Bilan: il n'y a que les polynômes de degré 1 à coefficients rationnels.

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je comprend pas bien, tout polynompe a coefficient rationnels marchent, non?

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Ben non, si par exemple P=X³, 2 n'a pas d'antécédent dans par P.

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ah il faut qu'il y ai aussi un antecedent ok, donc premier degré a coef reel?

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Une petite correction pour la fin :

avec où b le dénominateur du coefficient dominant de P.

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Je te hais!!! J'ai pris quasiment 1 jour et demi pour trouver...
T'as la même soluce que mon prof (c'est un compliment ). Perso, après avoir montré que P est dans Q[X], j'avais montré que si P était de degré au moins 2, P grandissait "trop vite" pour ne pas rater des entiers.
Bien vu en tous cas et merci de ta participation.

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Ils sont vraiment sympas tes exos ! Tu les tires d'où ? C'est ton prof qui te les pose ?

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Ouaip, ce sont des exos que mon prof me propose( pour éviter "l'ennui" si on veut reprendre ces propres termes). La plupart sont des exos posés aux ENS (parfois à l'X ou à Centrale). Je les propose une fois que je les ai résolu, mais je ne vous donne que la crème de la crème: ceux des ENS.