Salut

Ah ouais, pas mal. Je ne connaissais pas ce résultat. En revanche la preuve que j'ai trouvée est un peu bourrine (basée sur les relations de Waring ). Je vais essayer de trouver mieux, là je vais bosser, je tâcherai de poster une solution ce soir.

Salut,

Il y a des démos plutôt bourrine en effet mais il y en a (au moins) une par contre...

Notons pour , .

On a avec .

Posons ; d'après les formules de Waring (ou celles de Newton, voir par exemple ici: ), on a:

.

Si l'un des n'est pas nul alors aucun des autres n'est nul. Soit une racine n-ième de et .

Les racines de Q sont les , mais aussi les , .

Quitte à renuméroter les , on aboutit donc à: , , c'est-à-dire : .

est donc l'image du polygone régulier par la similitude .

... l'image du polygone régulier .

Je vois pas de problème, bien joué!

Tu ne manqueras pas, j'espère, de poster ta sublime solution ?

Au fait, désolé, j'ai oublié de blanker

Et puis une remarque en passant : j'ai bien l'impression que la réciproque est vraie

Oui oui bien sûr, mais je laisse encore un peu de temps au temps.

Ayoub, vas-tu laisser encore beaucoup de temps au temps ?

Ce soir, promis!

Chose promise, chose due...

Bon, on suppose qu'on a nos n+1 complexes ,..., qui forment un zoli polygônes de centre .
Alors pour i différent de 0, on a clairement que (indépendante de i je veux dire).
Ainsi sont racine d'un certain polynôme. On note (si ça c'est pas un poly qui s'annule en les ... je change de nom ).
Bref, il nous suffit de prouver que .

On note le polynôme de Legendre associé à . Du fait de la relation qu'on donne on remarque que pour tout i non nul .

Ah oui mais on a aussi: .

On fait _{(mon dieu, si mon prof voyait ça... j'aurais un mort sur la conscience )} et bing, on trouve que: .

Question de se ramener à un polynôme de degré n-1 avec n racines, on remarque que du coup le polynôme est de degré n-1 mais avec n racines. Bref, il est nul!

Je craque pour la fin: On multiplie (*) par , on reconnaît la dérivée d'un produit, on trouve puis donc l=1.
C'est ce qu'on voulait.


Il y a peut être des erreurs, je me suis pas relu. Merci de signaler le cas échéant.

Heu, Ayoub, il y a un truc qui m'échappe, je ne comprends pas la fin, c'est quoi, z ?

Moi, je terminerais comme ça: si on veut un polynôme de degré n-1, il faut prendre mais alors, lorsqu'on le multiplie par  , on reconnaît plutôt le numérateur de la dérivée de la fraction rationnelle . Celle-ci est donc constante et forcément égale à 1 (jeter un oeil aux coefficients dominants en haut et en bas).

C'est magique, ton truc

_{Lagrange s'appelle Legendre, ce soir ?}

z, euh je sais pas pourquoi je l'ai mis. Bien sûr, c'est X qu'il faut mettre.

Euh oui aussi pour l'autre, faut mettre un "-" devant le nP(X); désolé pour ces maladresses. Par contre pour moi, la dérivée d'un quotient c'est la dérivée d'un produit... et effectivement on tombe sur la dérivée sur (X-a₀)ⁿ/(P(X)-P(a₀)) et on conclut comme tu l'as dit.

C'est vraiment une jolie solution

Je tiens cependant à signaler que je me suis fait un peu aidé. Disons que tout ce qui concerne Legendre, c'est de moi. Mais pour la fin (la grosse stûce pour multiplier par (X-a_0)^n) on m'a donné un nain dix; j'avoue que j'aurai pas pu le trouver sinon.

Legendre ?

Je crois que j'ai un vrai problème avec ces deux-là.

Salut vieux.

Salut mon vieux

_{(Alors ces dents? Tu es devenu un sage maintenant!)}

_{C'était hier, y'a eu un prob j'étais pas anesthésié correctement donc la première a été arraché à moitié à vif j'ai bien souffert ! Les trois autres ça a été mais j'avais mal la gueule hier soir . Là ça va mieux mais je tourne à la soupe}