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Ca sent Cardan

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ne doit-on pas utiliser le conjugué?

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Je n'ai pas essayé avec Cardan mais ça peut peut être marché, si tu as une solution à proposer

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Hum je ne pense pas que ça aboutisse, car on aura le même problème au dénominateur

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j'appelle x et y les deux racines cubiques. xy = racine cubique de 125/27 = 5/3
(x-y)² = x²+y²-10/3
(x-y)(x²+xy+y²)=xcube -ycube = 6, donc (x-y)(x²+y²+5/3)=6, mais x²+y²+5/3 = x²+y²-10/3 + 5 = (x-y)² +5
donc (x-y)((x-y)²+5)=6.
Le nombre cherché, x-y, est donc solution de X³+5X-6=0. 1 est solution évidente. la fonction qui à X associe X³+5X-6 étant croissante, x-y = 1

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belle solution, je n'avais pas la même

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Que dis-je, j'avais mal lu ta solution, en fait nous avons le même raisonnement, pas les même noms de constante

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On reconnait les solutions avec la méthode de Cardan :

u = racinecub[(-q+VDelta)/2] et v = racinecub[(-q-VDelta)/2] avec Delta = q²+4/27p^3. On retrouve tes racines cubiques en prenant q=-6 et p=5. Donc u-v est solution de x^3+5x-6=0. Or 1 vérifie cette équation, et par stricte croissance de cette fonction c'est l'unique solution qui annule le polynôme. Donc la simplification u-v donne 1.

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Ca marche

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C'est moi qui te remercie de m'avoir fait connaître cette méthode ::::::::::::: Polynome DE DEGRE 3 :::::::::::::::

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Et merci à Cardan lui même de nous l'avoir faite découvrir Une idée pour le 2) ?

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Je réfléchirais au 2 plus tard, j'ai des TP à réviser

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Une petite démo pour le deuxième... (qui est fausse d'avance ) rac(2)+rac(3)+rac(6)=rac(2)+rac(3)+rac(2)*rac(3)

Puisque: (rac(2)-rac(3))(rac(2)+rac(3)+rac(6))=2rac(2)-3rac(3)

Donc: rac(2)+rac(3)+rac(6)= (2rac(2)-3rac(3))/(rac(2)-rac(3)) = 2-rac(3)/(rac(2)-rac(3))

Or: 2-rac(3)/(rac(2)-rac(3)) est irrationnel donc  rac(2)+rac(3)+rac(6) est irrationnel (il y a quelque chose qui cloche mais bon)

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On peut simplifier encore et dire: 2-rac(3)/(rac(2)-rac(3))= rac(6)-1 qui est irrationnel

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"2-rac(3)/(rac(2)-rac(3))= rac(6)-1" ça c'est faux, sinon on aurait V(2)+V(3)=-1. vu que tu as motnré que rac(2)+rac(3)+rac(6)= = 2-rac(3)/(rac(2)-rac(3)). Ta démonstration ne marche pas!

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ah oui dsl, je voulais dire: "2-rac(3)/(rac(2)-rac(3))= 5+rac(6)"

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Ben ça reste faux lol.

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Oui c'est ce que je viens de vérifier... Ah non non j'ai trouvé une grande faute.. Ce n'est même pas la l'identité remarque celle que j'ai faite OK, je redémarre

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Comme on le constate en développant, q vérifie l'équation :

q⁴ - 22q² - 48q - 23 = 0

Or cette équation n'a pas de racine rationnelle, car si n/m était racine, avec n et m premiers entre eux, on aurait
(n/m)⁴ - 22(n/m)² - 48(n/m) - 23 = 0
ou encore
n⁴ - 22n²m² - 48nm³ - 23m⁴ = 0
et donc m diviserait 1 et n diviserait 23, ce qui veut dire que les seules racines rationnelles possibles de cette équation sont 1 et 23.
Comme aucun de ces quatre entiers n'est racine, c'est qu'il n'y a pas de racine rationnelle.

Et donc q est irrationnel.

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ça avance à quelque chose, de remarquer que 1+q=(1+V2)(1+V3) ?

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Très belle méthode, cette fois ci nous n'avions pas la même!

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Pas grand chose je pense...

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Merci mais encore faut-il savoir comment obtenir cette équation. C'est niveau terminale +++. Sinon ça fait quand même un peu parachuté ! C'est pour ça que j'ai précisé JFF

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Si q est rationnel, q² = 11 + 26 + 43 + 62 est rationnel, donc 6 + 23 + 32 est rationnel, donc 6 + 23 + 32 - q = 3 + 22 est rationnel.
Donc (3 + 22)² = 14 + 46 est rationnel donc  aussi 6 : contradiction !

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C'est la méthode que j'avais

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V2+V3+V5 = a
V2+V3 = a-V5
au carré : 5+2V6 = a²+5-2aV5
2V6+2aV5 = a²
si a était rationnel, V6+aV5 le serait aussi ainsi que son carré 6+5a²+2aV30
2aV30 et V30 serait rationnel, ce qui est faux
donc a n'est pas rationnel
il est amusant de voir que l'irrationnalité du produit prouve l'irrationnalité de la somme !