Exo défi : recherche d'une application de IN dans IN :*: - Forum mathématiques exercices - 149495

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Exo défi : recherche d'une application de IN dans IN 
Posté par 
lyonnais  16-09-07 à 17:42
Bonjour à tous 

J'ai trouvé un exercice sympa. Et je me suis dis, pourquoi privé Kevin, Kaiser ou toute autre personne d'une telle merveille. Donc voici l'énoncé :

Citation :
Montrer qu'il n'existe pas d'application f de IN dans IN telle que f(f(n)) = n + 2007

Je ne pourrais revenir que le week-end prochain pour donner la correction ( pas internet pour l'instant  ). Donc voici un indice que je met en blanké si jamais vous sécher trop :D

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Etudier les cas f(f(n)) = n+1  et  f(f(n)) = n+3

Bonne chance à tous et à la semaine prochaine 
 Posté par 
Nofutur2re : Exo défi : recherche d'une application de IN dans IN   18-09-07 à 11:47
Salut Lyonnais.

Je fais une tentative.

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Supposons f2 (n)=n+K avec K impair.

On démontre facilement que f(n+K)=f(n)+K (en calculant f3 de deux façons).

soit n=n0+pK avec 0<=n0<K et p entier.

On déduit que f(n+K)= f(n0)+(p+1)K = (n+K) + f(n0)-n0

Donc f2(n+K)= (n+K)+ 2[f(n0)-n0]

Par ailleurs  f2(n+K)= n+2K

Donc (n+K)+ 2[f(n0)-n0]=n+2K

K= 2[f(n0)-n0]

Ce qui est impossible puisque K est impair.
 Posté par 
veledare : Exo défi : recherche d'une application de IN dans IN   18-09-07 à 18:38
bonjour,

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je n'arrive pas à une contradiction dans l'étude de f²(n)=n+2007

en notant pi f(i) pour tout entier i de [0,n] j'ai les relations 

f(i+k.2007)=pi+k.2007

f(pi +k.2007)=i+(k+1)2007  pour tout entier k de N

mais ensuite je tourne en rond

par contre pour f²(n)=n+1 en posant p0=f(0) on arrive facilement à f(k)=k+p0

on prend k=p0 d'où f(p0)=2p0

mais f(p0)=f²(0)=1 donc 2p0=1 ce qui est impossible

même technique pour f²(n)=n+3

>>nofutur2 Cliquez pour afficher
je suis peut être fatiguée mais je ne comprends pas le"2[f(n0)-n0]"

l'avant dernière égalité n'est-elle pas inexacte pour n=K =>(n0=0 ) ?je trouve 2K+2K=3K

>>lyonnais  merci pour cet intéressant exercice; 

je vais encore chercher . véléda
 Posté par 
Nofutur2re : Exo défi : recherche d'une application de IN dans IN   18-09-07 à 20:05
veleda .

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Si on démontre que f(X)= X+Y,

f2(X) = f(X+Y)=(X+Y)+Y=X+2Y
 Posté par 
veledare : Exo défi : recherche d'une application de IN dans IN   18-09-07 à 23:47
NOFUTUR2

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merci,je crois que j'ai compris ,tu  calcules f(N+K) avec N=(n-n0+f(n0))

je fais refaire le calcul

je me suis trompée en vérifiant l'avant dernière ligne pour n=K

 Posté par 
Nofutur2re : Exo défi : recherche d'une application de IN dans IN   19-09-07 à 07:35
>> Bonjour veleda,

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Pas tout à fait, je calcule f(X)=X+A, avec X=n+K et A=f(n0)-n0.
 Posté par 
borneore : Exo défi : recherche d'une application de IN dans IN   19-09-07 à 08:37
Hello  

Jolis, les deux smilies rouges  
 Posté par 
lyonnaisre : Exo défi : recherche d'une application de IN dans IN   22-09-07 à 17:14
Bonjour à tous 

Merci à vous d'avoir chercher pendant mon absence. 

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---> Déjà pour la cas f(f(n)) = n+1  (1)

Donc en composant par f à gauche

f(f(f(n))) = f(n+1)

Mais en appliquant la relation à f(n), on a aussi :

f(f(f(n))) = f(n)+1

D'où : f(n+1) = f(n)+1

Ainsi par récurence on montre facilement que  f(n) = f(0) + n (2)

Or : 

f(f(n)) = f(f(0)+n) = 2f(0) + n [d'après (2)] = n+1 [d'après (1)]

Donc on a :  2f(0) + n = 1 + n

Ainsi comme 1 est impair, on déduit de cette dernière égalité la contradiction !!

---> Pour le cas f(f(n)) = n + 3

Par le même raisonnement, on obtient f(n+3) = f(n)+3

Et là j'ai regardé les congruences de n modulo 3. Il existe p tel que si n est dans classe(p) alors f(n) est aussi dans classe(p)

Donc si n = 3k + p , f(n) = 3.k' + p

Soit alors g l'application qui transforme k en k'. On a g(g(k)) = k + 1

D'où contradiction d'après le premièrement puisque g n'existe pas ...

---> Et on recommence comme ça le processus ...

Ca vous parait correct ?

Je n'ai pas la correction, c'est un exercice posé à l'oral de l'ENS que j'ai trouvé sur le net.

Sinon NF2, ta démonstatrion m'a l'air pas mal du tout :D
 Posté par 
infophilere : Exo défi : recherche d'une application de IN dans IN   22-09-07 à 17:24
Salut romain 

Désolé j'ai pas eu le temps de me pencher sur ton énigme 
 Posté par 
lyonnaisre : Exo défi : recherche d'une application de IN dans IN   22-09-07 à 17:32
Salut Kevin 

J'avais pas dit que c'était oral ENS pour te glorifier si réussite :D

Enfin bon, je comprend, moi même j'ai plein de boulot !
  Posté par 
infophilere : Exo défi : recherche d'une application de IN dans IN   22-09-07 à 17:34
J'ai même pas chercher à comprendre à vrai dire 

Mais bon maintenant que tu me le dis j'aurais certainement foiré 

Bon courage pour la suite ! Je vais finir mes DM 

A+