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J'ai un plan d'attaque : montrer que la boule unité est compacte avec Ascoli, puis conclure avec Riesz.
J'y réfléchis un peu.

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C'est bien ça Bon courage !

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On note le sous espace considéré, et sa boule unité fermée, pour la norme uniforme.
On a que pour tout , l'ensemble est borné.

On montre maintenant que est équicontinue.
Pour cela, on introduit la norme N sur définie par et on montre que est un espace de Banach.

Soit une suite de Cauchy. On a : tel que
On en déduit que les suites et sont de Cauchy dans et respectivement, donc convergente.

D'après un théorème sur la convergence uniforme des suites de fonctions, on obtient l'existence d'une fonction de classe telle que converge uniformément vers , avec .
Par conséquent, on a , donc est complet.
Comme est fermé dans , on déduit que est fermé dans , et donc que est un Banach.
On a de plus que est lui aussi un espace de Banach.

On a clairement que l'application identité est continue de dans .
D'après le théorème de l'application ouverte, elle est ouverte, donc bicontinue. Ainsi, l'application est bornée sur .
On a donc que tel que , . En particulier, on a : ,

Toutes les fonctions de sont donc M-lipschitziennes, par conséquent est équicontinue.
On peut donc appliquer le théorème d'Ascoli : la boule unité fermée de est (relativement) compacte.
Le théorème de Riesz permet ainsi de conclure que est un sous-espace de dimension finie.

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C'est bien ça, chapeau

Cela dit pour montrer que la boule unité est compacte, on aurait pu aussi utiliser l'opérateur qui à f associe f', ça raccourci les calculs