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a) Comme 0 n'est clairement pas une solution alors l'équation est équivalente à . Soit alors donc strictement croissante sur avec pour maximum car . Ainsi, d'après le TVI, comme f(x) continue (et f(x) prend des valeurs négatives lorsque s'approche de 0) alors il n'y a qu'une seule solution telle que .

b) Comme alors et donc . La suite est donc minorée.
Comme et alors soit encore décroissante. Comme la suite est décroissante et minorée alors elle est convergente.

La limite est 1, je le prouverai demain, là je vais me coucher (trop fatigué).

A+

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Je traite une question après l'autre :



On étudie la fonction

Cette fonction est dérivable sur et :



Ainsi donc est strictement croissante sur

Or et car

La fonction s'annule donc une unique fois sur donc l'équation admet une unique solution sur cet intervalle

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Une erreur qu'on retrouve souvent : , cela est faux

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Oui c'est pas très rigoureux, j'aurais du détailler davantage

Je casse la croute et je continue après.

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Alors ensuite je trouve que la suite est minorée par 1 et décroissante donc elle converge. Pour trouver sa limite j'ai résolu f(l)=l avec l la limite de la suite, et je trouve l=1.

Bon passons au DL

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Je ne comprends pas pourquoi résoudre f(l)=l amène à la solution... la limite est bien 1 mais ce n'est pas la bonne justification

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Ah oui je me suis planté j'ai procédé comme pour une suite récurrente

avec donc si on a donc on a nécessairement .

C'est faux ?

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J'ai une idée pour le DL mais je suis pas sûr de moi.

D'abord je fais un DA de , et ensuite comme est bijective j'aurais déterminé le DL de et j'aurais composé avec pour avoir

Pas terrible hein ?

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Tu peux me donner une piste je coince sur le DL ?

J'arrive juste calculer le DL de f(xn-1).

Merci

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Pose x_n=1+y_n avec y une suite convergent vers 0

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Comme converge 0 alors elle admet un DL au voisinage de l'infini. Mais lequel ?

Je crois que je fais fausse route là !

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Bon je te mets sur la voie mais après tu te débrouilles hein

Or :

D'où :

Continue

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Je trouve

C'est juste ?

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Non

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Ah zut

J'ai écris

Et comme converge vers 0 j'ai dit que

Ca va pas ?

Je vais manger, je reviens plus tard !

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Ce n'est pas parce que y_n converge vers 0 qu'elle est équivalent à 1/n en l'infini (prendre y_n=1/n² pour contre exemple).

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Ah oui je suis bête

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Pour répondre à la remarque de Nightmare, f'(x)>0 sur ]0;n[ donc là on peut appliquer le TVI. Pour ce qui est de n, ce n'est clairement pas une solution car .

Pour la limite, on sait que . Soit la limite de la suite (on sait qu'elle est différente de 0 car ), alors

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a)

x^n = e^x

x = 0 n'est pas solution --> étudier sur ]0 ; n]

n.ln(x) = x sur]0;1] a les mêmes solutions (si elles existent) que x^n = e^x (1)

f(x) = n.ln(x) - x sur ]0;n]
f '(x) = n/x - 1
avec n >= 3 et x dans ]0;1] on  n/x >= 3 et donc n/x - 1 >= 2
On a par conséquent: f '(x) > 0 et f(x) est strictement croissante.

lim(x->0+) f(x) = -oo
f(n) = n(ln(n) - 1) et avec n >= 3, on a f(n) > 0

Comme f est continue sur ]0 ; n], que f est strictement croissante sur ]0; n], que lim(x->0+) f(x) < 0 et que f(n) > 0, on conclut qu'il y a une et une seule solution sur ]0;n] à f(x) = 0.

Et par (1) : Il y a une et une seule solution sur [0;n] à x^n = e^x (avec n >=3)

b)

Si Xn > 1 pour n -> +oo, alors lim(n->+oo) x^n = +oo, alors que e^Xn est fini.
Si 0 < Xn < 1 pour n -> +oo, alors lim(n->+oo) x^n = 0, alors que e^Xn > 1

On a donc lim(n->+oo) x^n = 1

c)
Si j'ai bien interprété la question :

g(Xn) = Xn - e^Xn - 1
g'(Xn) = 1 - e^Xn
g''(Xn) = - e^Xn

g(0) = -2
g'(0)= 0
g''(0) = -1

DL en 0 : -2 - Xn²/2