Bonjour gui_tou,

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La constante d'Euler n'apparaît pas dans la formule...
C'est pour éviter de donner la voie à suivre ?

Bonjour ThierryMasula,

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Non la constante d'Euler n'apparaît pas. La démonstration est, somme toute, assez élémentaire.

Se demander d'où provient le peut mettre sur la piste.

_mini-up

Bonsoir

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D'où

_{Bon, d'accord, je suis pas en Terminale...}

Saloute

Fractal >

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Tu m'épateras toujours !

Pour info, c'est tiré d'un oral d'ENS Lyon

gui_tou ->

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Nan, c'est vrai?
C'est pas bien difficile pourtant, et assez classique ('fin, il me semble ^^)

Guigui >

Ayé j'ai retrouvé l'exercice suivant

Pour ceux qui sont en avance :

Citation :
Résoudre dans :

3s(n)=4n-17 3[s(n)+3]=4(n-2]
or pgcd(3,4)=1 donc n2[3] et s(n)1[4]
ensuite un petit programme permet de répondre à la question
on peur remarquer qu'aucun nb premie n'est solution (car s(n)=n+1 qui est pair)
ce me semblet-t-il...

dsl je ne sais pas blanquer (parfois blaguer suelement...)

salut carpediem

pour blanquer il suffit de mettre le message entre les balises [bIank]**message**[/blank]


carpediem >>

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Bonne analyse pour les 2 premières lignes

Citation :
ensuite un petit programme permet de répondre à la question

Le programme teste des valeurs données, si ça se trouve un nombre à 200 chiffres vérifie l'égalité. L'informatique ne prouve rien

salut gui_tou

et merci pour le mode d'emploi

l'informatique a permis de prouver le théorème des 4 couleurs !!

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içi comme je bloque (j'ai décidé de blanquer pour changer !!) je proposais l'info pour savoir si il existait effectivement une solution (raisonnable de plus (dans le sens pas trop grande))

Merci de t'intéresser à cet exo

Promis, demain : un nain dix

Bonsoir

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Je connais un résultat sympa si on décompose n en produit de nombre premiers, ça l'utilise ?

kéké >

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Pas l'exo 1) mais l'exo 2 oui ça peut être intéressant

Re

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L'équation à résoudre est

On remarque tout d'abord que est impair.
En décomposant n en facteurs premiers : , puisque sigma est multiplicative on a
Ce produit est congru à 1 modulo 2, donc puisque tous les p_i sont impairs on a ce qui implique que tous les sont pairs.
Ainsi on a soit , soit pour un certain m.

Or, l'équation de départ réduite modulo 3 nous dit que n est congru à 2 modulo 3 donc le premier cas est exclu car un carré ne peut pas être congru à 2 modulo 3.
D'où

L'équation de départ devient maintenant .
Or 2m² et m² divisent tous deux 2m², donc , ce qui implique que : absurde.

Il n'y a donc pas de solution.


Solution de Samuel et moi


En fait la seule chose à montrer est que n est pair, et que par conséquent n et n/2 le divisent ce qui fait que le terme de gauche devient trop grand.
Ici on montre d'abord que c'est soit un carré soit le double d'un carré, ce qui est dû au fait que la somme de ses diviseurs soit impaire, et le fait qu'il soit congru à 2 modulo 3 montre ensuite qu'il ne peut être un carré, c'est donc le double d'un carré qui est bien pair.

Fractal >

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Eblouissant ! Tatoubon (Samuel, un copain de classe ?)

Citation :

Exercice 2

Résoudre dans :

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gui_tou>>

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Samuel, je crois qu'il l'a rencontrer aux OIM^^ c'est musichien sur pas mal de forums je suis quasi sur

Oui samuel = musichien

Voui, je confirme ce que disent Simon et Kévin, et vu qu'on est dans la même classe c'est aussi un copain de classe ^^

Fractal

Salut fractal au fait
(et bravo )

Déjà que tout seul guigui est épatant, alors avec un acolyte ...

Mais je suis nul en arithmétique, fallait bien que je me fasse aider par quelqu'un qui y connait quelque chose

Fractal

Le "nul" est relatif, ça t'a fait gagner le CG non ?

Euh, j'avais pas fait grand chose en arithmétique, même pas la moitié, c'est le reste qui m'a fait gagner des points, pas l'arithmétique

Fractal

Ah oui les fonctions Tn bizarres là

Bonjour

Proposition de correction :

Citation :
On note la somme des diviseurs de . Montrez que

Citation :
Résoudre dans :

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D'abord, je vais démontrer l'indice :

L'équivalence est triviale pour . Soit donc un entier .
On peut l'écrire sous la forme où les sont des nombres premiers impairs deux à deux distincts, et où les sont dans , mais peut être nul)

La somme des diviseurs de a la même parité que la somme des diviseurs impairs de , c'est-à-dire le nombre de diviseurs impairs de . Ceux-ci sont de la forme avec pour tout i, .
Il y en a donc .

Il en résulte donc que est impair tous les sont pairs.





Supposons qu'il existe solution de l'équation . On peut donc écrire avec impair.

Si alors est diviseur de . On a alors . Mais dans ce cas .

On a donc et . Si on passe modulo 3, on obtient . or est congru à 0 ou 1 modulo 3 (en effet 2 n'est pas un carré modulo 3).

Donc l'équation proposée n'a pas de solution.

Bien sûr je n'aurais jamais trouvé cette solution tout seul, mais l'exo me semblait sympa à poster