Exo défi : Somme et inégalité

 Niveau exercicesPartager :
			        
Exo défi : Somme et inégalité
Posté par 
Nightmare  01-07-07 à 15:36
Bonjour à tous 

Encore un petit exercice défi un peu difficile.

Montrer que pour tout n naturel différent de 0 et 1 :

Indice pour les terms:

 Cliquez pour afficher
Montrer le résultat suivant :

Si  de classe  est convexe alors pour tout n naturel différent de 0 et 1 :

Bon courage

jord
 Posté par 
xtasxre : Exo défi : Somme et inégalité  01-07-07 à 15:56
Bonjour 

Il n'y aurait pas une petite erreur de frappe ?

Parce que le premier terme est équivalent à n en + et il tend vers + alors que le dernier est une constante.
 Posté par 
monrow re : Exo défi : Somme et inégalité  01-07-07 à 15:56
Salut Jord

 Cliquez pour afficher
pas de somme de Riemann ici?
 Posté par 
xtasxre : Exo défi : Somme et inégalité  01-07-07 à 15:57
Pardon j'ai mal lu 

j'arrête les conn**** pour aujourd'hui, promis !
 Posté par 
Nightmarere : Exo défi : Somme et inégalité  01-07-07 à 15:58
Monrow > 
 Cliquez pour afficher
Pas vraiment mais ça s'en rapproche
 Posté par 
elhor_abdelali re : Exo défi : Somme et inégalité.  01-07-07 à 17:18
Rebonjour Nightmare 

 Cliquez pour afficher
inégalité de droite :

On a  

d'où     (sauf erreur)

(je réfléchis pour celle de gauche) 
 Posté par 
elhor_abdelali re : Exo défi : Somme et inégalité.  02-07-07 à 00:55
 Cliquez pour afficher
Voilà je viens de trouver une solution pour l'inégalité de gauche :

Elle se base sur le fait que la courbe d'une fonction convexe est en dessous de toutes ses cordes.

La fonction en question n'est autre que  qui est convexe positive sur . 

Pour  on sait que la quantité  représente l'aire de la partie du plan délimitée par les deux droites 

 et  , l'axe des abscisses et la courbe  (partie rose du dessin).

cette aire est donc inférieure à celle du trapése (en bleu ciel) ce qui se traduit par :

 d'où

ce qui donne    (sauf erreur bien entendu)

Edit Kaiser

 Posté par 
infophilere : Exo défi : Somme et inégalité  02-07-07 à 01:00
Bonsoir ehlor 

Tu peux blanquer ton image en insérant [img1] entre les balises blank.

Conseil technique 
 Posté par 
infophilere : Exo défi : Somme et inégalité  02-07-07 à 01:10
Sinon comme d'habitude joli démonstration 
 Posté par 
elhor_abdelali re : Exo défi : Somme et inégalité.  02-07-07 à 01:26
Merci Kaiser , Merci infophile  
  Posté par 
kaiser re : Exo défi : Somme et inégalité  02-07-07 à 01:29