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lemme:
Si A et B sont deux matrices dans , alors : .

Preuve: En utilisant le fait que si P et Q sont deux matrices de , alors , on aboutit à : . D'où le résultat en observant que   pour  .

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D'après le petit théorème de fermat, on voit que ton résultat est vrai lorsque la matrice M est triangulaire inférieure ou supérieure.

Ensuite, on écrit M=H+K où H (resp. K) est triangulaire inférieure (resp. supérieure) et on utilise le lemme...

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Prenons par exemple p=5: les matrices ont bien la même trace, de même que les matrices ont la même trace; cependant, en général. Dans le développement de il n'y a donc pas les coefficients .
Cependant le lemme est bien vrai. Dans le développement de , chacun des termes , où , apparait exactement p fois puisque la trace du produit est invariante par permutation circulaire (sauf les deux termes et qui n'apparaissent qu'une fois). Ce ne serait pas vrai si p n'était pas un nombre premier: dans , apparait 4 fois alors que n'apparait que deux fois.
est donc bien un entier multiple de p.

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Tu as tout-à-fait raison, jandri, la preuve de mon lemme est fausse

Et excellente correction