Salut

 Cliquez pour afficher

Tiens je ne m'étais jamais posé la question ! Déjà, il est clair qu'on doit avoir un corps indénombrable (sinon R serait isomorphe à kⁿ donc serait lui même dénombrable).

Je cherche je cherche

Je ne sais pas comment ça se démontre mais vu la tournure de la question (subsidiaire) je répond donc oui !

Maintenant il suffit peut-être de répondre à la question subsidiaire pour répondre à la question non ?

Salut

Jord >>

 Cliquez pour afficher

Tu commences bien. La subsidiaire devrait pouvoir t'aider en t'indiquant plus ou moins vaguement un outil de résolution. A moins évidemment que t'en exhibe un et que tu règles les 2 questions en même temps...

 Cliquez pour afficher

Techniquement oui, en répondant à la subsidiaire on répond à la première question. Mais bon, faut le trouver ledit corps.

Jord >>

 Cliquez pour afficher

Rien justement puisque la réponse est "OUI".

Je ne suis pas sûr que le théorème sur les extensions de 15h12 soit correct .
Ca voudrait dire que toute extension est transcendante pure .
Le contre exemple trivial est celui ou K/k  est algébrique.

Par contre il y a le théorème de Noether qui dit que si  K/k  est de type fini alors on peut mettre d'abord des transcendants entre  K  et  k et ensuite l'extension restante est algébrique...mais avec des extension infinies ça marche eut-^tre aussi...là j'ai pas le temps

Euh oui, énoncé comme ça c'est faux. En fait c'est le théorème de la base incomplète qu'on transpose. Et là ça marche: être algébrique c'est la tranposée de "être de dimension 0" sinon on a au moins un transcendant et on applique la démonstration du théorème de la base incomplète.

Ah, je viens de comprendre ce qui te genaît dans mon post... Oui oui, tu as raison. Ce n'est pas "K=k((x_i))" mais "K est algébrique sur k((x_i))".

oui alors OK .

Si  K  est une extension de Q contenue dans R telle que  [R:K]= n  alors
[C:K]= 2n  , n'a--ton pas forcément n= 1 ? Euh vue l'heure je peux aussi disjoncter .

Voilà c'est effectivement correct (y en a pas ) c'est un cas particulier du théorème d'Artin-Schreier .

lolo >> J'avais pensé à un argument type Artin-Schreir pour conclure au début, mais qui nous dit que K(i) ne peut être algébriquement clos sans pour autant être égal à C? Il y a des sous corps de C algébriquement clos (Q barre par exemple); du coup j'ai pas vu l'argument qui permet d'affirmer un tel résultat.

PS: (Plus la peine de blanker, tout le monde les lit vu que personne n'a la réponse pour l'instant).

PPS: (Du coup ma démo de 15:12 est fausse... enfin pas complètement, quelques réglages que j'expliciterai après permettent de retomber sur nos pieds il me semble).

Elle marche pas ma solution alors?

Il doit y avoir plusieurs formulations d'Artin-Schreier , celle que j'ai en vue est la suivante :

Si  C  est un corps algébriquement clos et que  C  est une extension finie non triviale de F  alors  C  est une extension de F de degré 2 .


(voir par exemple le dernier problème du cours de Chamberloir Algèbre corporelle....pas corrigé....ou alors la preuve qui est faite dans le livre de Ribenboïm Arithmétique des corps).

Jord >> Je suis pas toutafé convaincu que [R:k] soit fini... J'arrive ni à prouver que c'est vrai ni que c'est faux.

lolo >> C'est bien la formulation que j'ai d'Artin-Schreir (même référence d'ailleurs) mais je vois pas vraiment la contradiction...

Bien, si  R/K  est fini alors  C/K  est fini et égal à 2 donc R=K .

Ben oui mais pourquoi est-ce que C serait forcément la clotûre algébrique de k? C'est pas possible que k(i) soit algébriquement clos? Il serait alors différent de C et on aurait pas de contradiction.

C'est bon, j'ai compris.

bien maintenant faut comprendre le truc des matrices de rang  r  ....

Et encore après ça, ya ton discriminant...