bonjour
peux-tu nous donner un peu de renseignement sur ls varriations de ta suite? STP

bonjour,
on a nécessairement lim(x)=0 mais bien sûr cela ne suffit pas
                    x->0
c.ex :la série harmonique alternée et(x)=|x|
la (ou les)condition(s) sur est la même que les séries soit à termes positifs ou non?

que les séries soient

Bonjour

L'énoncé suppose-t-il la série fixée, ou est-ce "pour toute série"?

Je précise, c'est bien pour toute série

Désirez vous un indice?

salut

allez tout de suite sans réflexion une condition suffisante:
|(x)| < |x|

>carpediem Bonjour

Crois-tu que ça marche pour les séries semiconvergentes?

Carpediem > Sauf erreur, convient et ne vérifie pas ton inégalité !

salut Camélia

allez essayons:
ma condition convient pour les séries de termes de signe  constant
le problème peut se poser pour les séries alternées:
quitte (1t ou 2t?) à multiplier par -1 on peut supposer les termes de rang pair positifs
en regroupant nos termes par 2 et en posant v_n=u_2n+u_2n+1alors la séries des v_n est à termes positif et converge

à partir d'un certain rang N on a |(u_n+1)+(u_n)| <....

rajoutons alors la condition x et (x) ont même signe et là ça n'irait-til pas?

->Nightmare: j'ai donné une condition (nfin peut-être) suffisante mais pas nécéssaire....

Oups au temps pour moi, j'avais justement lu nécéssaire !

Je veux bien démolir les solutions des autres, quoique je ne sais pas le faire...(enfin, pas encore...)
Mais, carpediem, une série semi-convergente n'est pas forcément alternée!

y a pas de mal
et avec ta remarque on voit que toute fonction linéaire convient...

je sais Camélia : le problème des séries semiconvergentes c'est qu'il y a "des - et des +" mais qu'il y en ait 1/2 ou 1/10 on peut toujours regrouper nos termes pour avoir une série à termes de signe constant
ce me semble-t-il...

dans tous les cas nos v_ntendront vers 0 qu'on prenne 2 ou 10 termes puisque la série des u_n est de Cauchy....

Je pense que vous allez dans la mauvaise direction. Carpediem a trouvé une piste cependant : "toutes les fonctions linéaires conviennent". A creuser!

désolé le "toujours" n'est peut pas toujours (!!!!) vrai

je me démolis moi-même alors soit gentil Camélia

et (x)=....

J'essayerai; pour le moment je me rends utile, des domaines de définition, des pourcentages...

pardon x ->x²ⁿ⁺¹/|x|

Pas d'idées?

Salut Jord. Il est superbe cet exo.

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Alors, voilà l'état des lieux: j'appelle f la fonction et je la suppose bonne. Il est clair que l'on ne peut parler qu'en termes de germe (la définir sur un voisinage de 0).

f(0)=0 (à cause de la série nulle) ce qui fait que dans la suite on peut supposer que les séries ont tous leurs termes non nuls.

Je pose pour une série convergente (u), et, à partir de la transformation d'Abel je montre que la suite a une limite, puis que cette limite ne dépend pas de la série convergente u choisie. Soit donc cette limite.

On en tire que f(x)/x tend vers quand x tend vers 0.

Comme il est clair que f est bonne si et seulement si f(x)-x l'est, on peut supposer que =0.

Et... j'en suis là! je ne me suis pas encore persuadée que ceci entraine que f est identiquement nulle. J'ai encore une ou deux fonctions dont je n'ai pas compris pourquoi elles ne seraient pas bonnes. Donc, suite (série!!) au prochain épisode.

Camélia >

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Je ne comprends pas bien... Pourquoi supposer lambda nul?

Bonjour,

j'ai un peu du mal avec ce genre de problème, mais j'essaie tout de même quelque chose :

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Voici une condition qui me semble suffisante :
doit vérifier

Je ne vois pas pourquoi doit être localement une homothétie (pour x suffisamennent petit). En effet, il me semble que les de la forme conviennent (je veux bien un contre-exemple si ce n'est pas le cas)

Donc il me semble que cette condition est suffisante, mais de là à le montrer...

1emeu >

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Es-tu sûr que tes fonctions conviennent ?? Je n'en suis pas certain. Je cherche un contre-exemple.

Quoi qu'il en soit je suis depuis hier sur de la véracité de ma preuve. On montre que phi est continue en 0 et Z-additive au voisinage de 0, on a pas d'autre choix que de dire que c'est localement une homothétie.

Camélia, des nouveautés ?

Salut Jord! Tu peux mettre la solution. Moi, j'ai réussi à prouver que f est paire, ce qui est une excellente nouvelle, mais je n'ai pas une démonstration correcte (ni d'ailleurs de contrexemple). Alors, vas-y, en blank tout de même, si je suis prise d'une inspiration!)

Tu arrives à trouver que f est paire? Personnellement je trouve qu'elle est impaire

Erreur! Bien sur j'ai montré qu'elle est impaire! (je suis en roue libre, ma cervelle vient de se brancher sur Hahn-Banach, on se demande pourquoi?)

Voici ma preuve :

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impaire :

Je note .

On suppose l'existence d'une suite décroissante, convergeant vers 0 et qui n'annule jamais

Je considère la suite (an) définie terme à terme :


Où p est choisi tel que

La série converge alors que la série diverge (elle ne vérifie pas le critère de Cauchy)

est donc impaire au voisinage de 0

continue en 0

Je suppose l'existe d'un et l'existe d'une suite telle que pour tout n non nul :
et

On a mais diverge.
Contradiction !

est bien continue en 0

est une homothétie au voisinage de 0

Je montre qu'elle est .

On suppose qu'il existe deux suites et convergeant vers 0 telles que pour tout n :


je construit la suite terme à terme comme pour montrer que phi était impaire :



où lest sont répétés p fois où p est tel que :


La série qui a pour terme général cette suite converge et pourtant la série qui a pour terme général l'image de cette suite par ne vérifie pas le critère de Cauchy. Contradiction.

est bien Z-additive

Merci, Jord et bravo! C'est vraiment joli.

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J'avais exactement la même démonstraion pour la fonction impaire et je savais depuis le début que c'était continu en 0. Mais je n'ai pas assez persévéré pour l'additivité.
En fait, j'ai passé beaucoup de temps à essayer de démontrer par l'absurde dans le cas où f(x)/x tend vers 0 et où f est non nulle, une série convergente telle que la série image diverge et... je n'y suis pas arrivée!

Merci Camélia C'est vrai que ça pourrait être intéressant de développer le point où tu as bloqué, je vais essayer de voir si je peux arriver à quelque chose.

salut

voila j'ai réfléchit (un peu) et je vous propose un truc que j'aimerais savoir si ça convient

rappelons la propriété: pour toute suite (u_n)
u_n cvf(u_n) cv    (1)

u_n cv u_n0
f(u_n) cv f(u_n)0

donc u_n0 f(u_n)0
de plus en considérant la suite nulle alors f(0)=0

donc f est continue en 0 et f(0)=0

pour tout réel r:

(u_n cv (ru_n cv smb]implique[/smb]f(ru_n) cv et smb]implique[/smb]rf(u_n) cv

donc pour tout réel r f(ru_n) - rf(u_n) 0

donc f est linéaire au voisinage de 0

on peut remarquer aussi que f o f et plus généralement f^p vérifie (1) mais je vois pas comment ou si on peut utiliser cela...