Exo défi spé > Approche du calcul de résidus

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Exo défi spé > Approche du calcul de résidus
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Nightmare  14-01-09 à 16:52
Bonjour 

Je viens de concocter un petit exercice guidé dans le but d'introduire le calcul d'intégrale complexe dans des cas "simples", je le soumets en défi pour les spé. (Vous pourrez alors me dire ce que vous en pensez). L'exercice étant guidé, il n'est pas de grande difficulté.

Citation :
On se donne  n'ayant aucun pôle unimodulaire.

Le but de l'exercice est de calculer l'intégrale curviligne  où  est le cercle unité.

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Première question :
Calculer  pour 

Deuxième question (un peu plus difficile) :
Calculer  pour 

Troisième question :
Soit a un pôle de . On note  le coefficient de l'élément simple  dans la décomposition en élément simple de .
Déduire de la deuxième question la valeur de  en fonction des .

Application : 
Calculer l'intégral de Wallis .

Amusez-vous bien.

Jord
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1 Schumi 1re : Exo défi spé > Approche du calcul de résidus  14-01-09 à 19:13
Salut 

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Ah, celui-là, il m'intéresse. Merci. Une question pour commencer. Comment est définit l'intégrale complexe sur C? Il y a une définition différente ou bien, mutatis mutandis, c'est la même que sur R?

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Nightmarere : Exo défi spé > Approche du calcul de résidus  14-01-09 à 19:15
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Salut  Tu fais bien de le demander, je voulais le préciser dans mon énoncé et j'ai oublié ! Je le fais tout de suite !
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Nightmarere : Exo défi spé > Approche du calcul de résidus  14-01-09 à 19:22
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Donc pour te répondre, ce sont des intégrales curvilignes !  où  est un paramétrage de .

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1 Schumi 1re : Exo défi spé > Approche du calcul de résidus  14-01-09 à 19:55
Re 

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Juste pour voir si mes calculs aboutissent aux bons résultats (et après, je mets la démo si c'est bon). Je trouve que ça vaut 0 sauf si k=1 et |a|<1 auquel cas ça vaut 2i*Pi.

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Nightmarere : Exo défi spé > Approche du calcul de résidus  14-01-09 à 20:20
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C'est bon 
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1 Schumi 1re : Exo défi spé > Approche du calcul de résidus  14-01-09 à 20:44

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Ok.

Bon évidemment, on prend  (ou , ça dépend des goûts...). Le premier s'intégre directement vu qu'on a une primitive explicite à l'aide des fonctions usuelles.

Le deuxième, non, évidemment (sauf si on veut commencer à parler de détermination du log m'enfin bon, c'est p'tet pas la meilleure solution ici). Donc suivant que |a|>1 ou |a|<1, on factorise respectivement par a ou e^(it) dans la parenthèse, on développe en "série entières", on permute sigma et intégrale (convergence uniforme) et on conclut.

Pour le 3), fatalement, on développe f en éléments simples et on a que l'intégrale vaut 2i\pi*n où n est le nombre de pôles de F.

Pour l'application, on écrit sin(t)=(e^(it)-e^(-it))/(2i). En mettant à la puissance n, on remarque la tronche d'une fraction rationelle développée comme il faut en série entière.

On applique les résultats précédent: si n est impair, l'intégrale est nulle.

Sinon, elle vaut  modulo mes légendaires erreurs de calcul...

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1 Schumi 1re : Exo défi spé > Approche du calcul de résidus  14-01-09 à 20:45
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Arf, zut, pour la fin, c'est bien sûr 2^(n-1) et non 2(n-1)...

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Nightmarere : Exo défi spé > Approche du calcul de résidus  14-01-09 à 21:04
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3)  ? Non pas vraiment !

Comment as-tu trouvé le résultat de la 4) en appliquant le résultat précédent sachant que ton résultat précédent est faux? 
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1 Schumi 1re : Exo défi spé > Approche du calcul de résidus  14-01-09 à 21:21
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Mais quel imbécile! Oui donc c'est 

"Comment as-tu trouvé le résultat de la 4) en appliquant le résultat précédent sachant que ton résultat précédent est faux?" >> Je n'ai pas appliqué la question précédente, j'ai refais le calcul (partiellement du moins) dans ce cas particulier. Me demande pas pourquoi, j'en sais rien. 

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1 Schumi 1re : Exo défi spé > Approche du calcul de résidus  14-01-09 à 21:22
Damned! J'ai confondu les balises LaTex et Blanké... Désolé. 
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Nightmarere : Exo défi spé > Approche du calcul de résidus  14-01-09 à 21:23
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C'est presque ça mais c'est pas encore ça 

Oui le but c'est quand même d'utiliser le résultat, parce que si on doit refaire le raisonnement à chaque fois qu'on calcule une intégrale par la méthode des résidus, c'est pas très utile 
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1 Schumi 1re : Exo défi spé > Approche du calcul de résidus  14-01-09 à 21:31
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Lire "a pôle de F de module < 1".

Dans le cas de l'application on a un seul pôle, lequel est 0 et quand on développe le produit avec Newton, on voit que le coef de 1/X est (n/2 parmi n) dans le cas n pair, soit nul.

Et heu, c'est quoi un résidu?

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Nightmarere : Exo défi spé > Approche du calcul de résidus  14-01-09 à 21:49
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Ok pour la rectification.

Quel produit développes-tu ?

Le résidu de f au pôle a (|a| < 1) noté Res(f,a) est le coefficient .

L'exo nous dit que  qui est un cas particulier du théorème des résidus 

Il s'étend bien sûr pour n'importe quelle fonction méromorphe et n'importe quel chemin continue par morceau.
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Nightmarere : Exo défi spé > Approche du calcul de résidus  15-01-09 à 23:20
So?
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1 Schumi 1re : Exo défi spé > Approche du calcul de résidus  15-01-09 à 23:48
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Quel produit développes-tu ? >> Tout simplement celui-là:  sin^n(t)=((e^(in)-e^(-in))/(2i))^n.

Je l'avais développé pour trouver le coefficient de ; il y aune autre méthode pour le trouver?

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Nightmarere : Exo défi spé > Approche du calcul de résidus  16-01-09 à 00:13
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Ben.. comment trouves-tu les résidus? Il te faut une fraction rationnelle !

L'idée est de poser un changement de variable qui te permette de te ramener à une fraction rationnelle justement, genre 
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1 Schumi 1re : Exo défi spé > Approche du calcul de résidus  16-01-09 à 00:23
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Je viens de comprendre que j'avais pas posté ma solution hier... (du moins avant-hier maintenant). Oui donc voilà:

On pose alors x=exp(it). On a alors . Où F est la fraction rationnelle: .

F n'a qu'un seul pôle: 0 et on a  si n est pair et 0 sinon.

On applique alors la zolie formule qu'on a trouvé à 3) et c'est gagné.

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Nightmarere : Exo défi spé > Approche du calcul de résidus  16-01-09 à 00:27
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Modulo le 1/i multiplicatif dans le résidu, c'est bon 
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1 Schumi 1re : Exo défi spé > Approche du calcul de résidus  16-01-09 à 00:42
Mais fondamentalement, à quoi sert le calcul de résidu? Je doute que le joli théorème que tu m'as énoncé avant-hier soir n'ait pour seul but que le calcul (simple, il faut l'avouer) d'intégrale... si?

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Nightmarere : Exo défi spé > Approche du calcul de résidus  16-01-09 à 00:56
C'est déjà bien d'avoir un outil aussi puissant pour calculer des intégrales non?  Il permet aussi de calculer des sommes de séries !
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Nightmarere : Exo défi spé > Approche du calcul de résidus  16-01-09 à 00:59
Enfin, il reste quand même proche de l'intégrale, mais du coup ça permet de démontrer plein de formules faisant intervenir l'intégrale d'une fonction complexe (par exemple le principe de l'argument ! )
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Nightmarere : Exo défi spé > Approche du calcul de résidus  20-01-09 à 02:56
Une autre application un peu plus difficile si ça t'intéresse Ayoub :

Citation :

Lemme :

Soit f méromorphe (on peut prendre f une fraction rationnelle si tu veux) telle que  et  définie sur .

Montrer que 

Application :

Calculer  pour .

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Nightmarere : Exo défi spé > Approche du calcul de résidus  21-01-09 à 00:07
Pas d'idée?

  Posté par 
1 Schumi 1re : Exo défi spé > Approche du calcul de résidus  21-01-09 à 02:02
Désolé, j'ai pas encore eu le temps d'y réfléchir (induction électromagnétique oblige... ). Ca m'intéresse, j'y réfléchis dès que j'ai un temps, dès ce soir donc.