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L'implication directe est totalement triviale.
L'implication intéressante maintenant:
On prend une suite de Cauchy de E.
On écrit chaque élément comme suite d'éléments de D:
Soit e>0.
On construit une suite d'éléments de D telles que pour tout n, soit l'un des vérifiant .
En clair, on approche par une suite d'éléments de D. On vérifie zézaiement que est de Cauchy donc elle converge. On note l_e sa limite.
En reprenant l'écriture |x_n-y_n|<e, on remarque que l_e ne dépend pas de e: bref converge.

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En gros c'est ça, joli non?

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Oui en effet, plutôt joli.
Ce qui est vraiment marrant c'est que du coup, on a que tout espace métrique peut être plongé dans un espace métrique complet. C'est ça vraiment fun.

Ca a notamment une application assez marrante en algèbre (on y revient toujours n'est-ce-pas?): On prend un corps k et on se demande s'il existe un autre corps K qui vérifie a la fois:
i) K est algébriquement clos.
ii) K est complet.

Réponse: Oui. Suffit de le complèter puis de cloturer le corps obtenu et ô miracle il vérifie les i) et ii).

Et hop, une nouvelle construction de C.

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Le sens direct, ok.
Réciproquement, soit une suite de Cauchy d'éléments de E.
En utilisant la densité de D dans E, on a
Par l'axiome dénombrable du choix, il existe une suite , tel que pour tout .
Montrons que est de Cauchy.
Soit . Comme est de Cauchy, tel que .
Donc, pour ,
Comme la suite tend vers 0, à partir d'un certain rang, on aura de plus et ainsi
La suite est donc bien de Cauchy, par hypothèse, il existe tel que la suite tende vers .
En utilisant l'inégalité , on conclut par le même argument que précédemment (inégalité triangulaire, plus le fait que tende vers ) que la suite converge vers .
Par conséquent, est bien complet.

A priori, ca se généralise sans problème aux espaces métriques. (on utilise pas la structure d'espace vectoriel ici)