Salut

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C'est trivialement faux si f n'est pas supposée continue dans le 1) aussi.

Oups, au temps pour moi... Si tu peux arranger ça...

oui bien entendu, f est continue. Je corrige ça, merci Ayoub.

Des idées?

Salut

Arf, dommage, je voulais tout poster dans un seul gros message... Tant pis, pour une autre fois.

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1) Par l'absurde: On suppose l'existence d'une suite de réels de [0,1] qui converge vers l mais tel que ne tende pas vers f(l) (caractérisation séquentielle).
On fixe donc un e>0 qui convient pour la non convergence de cette dernière. (Super claire c'te phrase, n'est-ce-pas? ).
On fixe un entier naturel n.
On a qu'il existe extraite de qui a la bonne idée de vérifier (à partir d'un certain rang).
D'où pour m>n, on a:
. (Croissance de ).
Par continuité de et de : .
Ya un 'ti souci au niveau de la convergence simple on dirait...

Je réfléchis au 2).

Salut

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Je ne comprends pas, pour ton raisonnement par l'absurde, tu supposes juste qu'elle ne converge pas simplement non? C'est bizarre !

On peut le démontrer par Baire si ça t'intéresse.

Salut

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Au temps pour moi, je n'ai pas été très très clair. J'explique le début de mon raisonnement.

On se place sur un compact.
Soit (f_n) une suite d'applications dont on suppose qu'elle converge uniformément vers une application f.
Pour tout e>0, il existe donc n0 à partir du quel ||f-f_n||<e.
Donc si je suppose qu'il n'y a pas convergence uniforme, je suppose qu'il existe une suite d'éléments tel que |f(x_n)-f_n(x_n)|>e.
Vu qu'on est sur un compact, je me suis permis de la prendre convergente, ladite suite.
C'est bien la non convergence uniforme que je suppose et je montre que dans ce cas ya un problème sur la convergence simple...

Baire tu dis? Ca doit donner une démo assez courte dans ce cas. Je suis pas spécialement à l'aise avec ce théorème, mais je vais essayer quand même.

Toi, je sens que tu as besoin d'un indice

Tu ne crois pas si bien dire. Arrête de te faire prier, balance-le!

Allez un petit indice :

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Utilise le fait qu'on ait aussi u uniformément continue sur [0,1] ! (Merci Heine)

Let us go.

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Soit e>0.
On applique Heine. Et prends alpha sous la forme 1/m, comme ça, on tombe pile sur 0 et 1.
Les suites (f_n(0)),(f_n(1/m)),...,(f_n(1)) converge toutes. Il existe donc N à partir duquel |f_n(0)-f(0)|<e, |f_n(1/m)-f(1/m)|<e,...,|f_(1)-f(1)|<e.

Soit x dans [0,1]. x est dans l'un des [k/m,(k+1)/m].
On prend n>N.
Cas où f_n est croissante:

Si f_n(x)>f(x) alors |f_n(x)-f(x)|=f_n(x)-f(x)<f_n(k+1)-f((k+1)/m)+f((k+1)/m)-f(x)<2e.
Si f_n(x)<f(x) alors |f_n(x)-f(x)|=f(x)-f_n(x)<...<2e.

Cas où f_n est décroissant: idem.

D'où la convergence uniforme.

Questions subsidiaires:

4) Montrez qu'il y a convergence uniforme dans les cas suivants:
i) Les f_n sont toutes k lipchistzienne (k fixé) et (f_n) converge simplement sur [0,1].
ii)Les f_n sont toutes k lipchistzienne (k fixé) et (f_n) converge simplement sur un dense de [0,1].

Bien joué pour la démo.
Je réfléchis aux tiennes. Tu n'as plus qu'à t'attaquer au dernier. (Une idée avec Baire?)

Bon en gros pour le premier on recouvre [0,1] par des intervalles du type [tex]3$\rm [a_{i}-\lambda,a_{i}+\lambda] puis à coup d'inégalité triangulaire ça marche (flemme de rédiger )

Le deuxième un peu plus délicat.