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Euh une idée, il est clair qu'il suffit de montrer en fait qu'elle est convergente, le fait qu'elle converge alors vers lambda est trivial. Pour cela on suppose qu'elle est divergente et on montre alors qu'elle a deux valeurs d'adhérences => Contraction

Pour montrer alors qu'elle a deux valeurs d'adhérence : Si elle diverge, on peut extraire une sous suite bornée de points suffisament loins de lambda. Cette suite étant bornée, le théorème de Weierstrass nous affirme l'existe d'une sous-suite (une sous-sous-suite donc !) convergente, qui convergerait alors vers un réel distinct de lambda.

J'essaye de mettre ça au propre.

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Vu que j'ai pas fait comme ça, j'ai hâte de voir ce que tu vas proposé.

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On suppose (un) divergente.
Il existe un e > 0 tel que l'ensemble A={n dans N/ |un-l| > e} est infini.
On obtient alors une suite extraite telle que pour tout n naturel, .

On prive N de A et on obtient un ensuite infini. On peu alors extraire une suite telle que pour tout n naturel, .

Or, cette dernière admet pour seule valeur d'adhérence l et est à valeur dans un compact donc elle converge vers l.

Par continuité de f on a et par unicité de la valeur d'adhérence on a donc l=f(l).

Pour e/100, il existe un p dans ]0;e/100[ tel que
Comme il existe un N tel que pour tout n .

Pour t supérieur à p_N on a :


Alors :

Par récurrence on montre que pour tout k naturel, ce qui contredit l'infinité de A.

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Je pense que c'est bon, bravo! Dans les grandes lignes c'est à peu près ce que j'avais fait.