ca a l'air bien mais y a un petit truc qui m'étonne : les premiers termes d'une suite ne jouant pas de rôle dans la limite, j'imagine que  Pn  a cette forme pour  n  assez grand !

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ensuite quand on reste en dimension finie  convergence simple = convergence uniforme d'où  Pn unitaire de degré  p  pour  n  assez grand, donc factorisable sur  C

Salut

lolo >>

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Je comprends pas trop ton message ^^ Tu peux re expliquer ta méthode parce qu'elle a l'air assez courte je trouve.

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Je serai curieux de savoir comment tu démontres ça. On l'a vu en TD mais on a passé une heure au préalable pour établir des résultats préliminaires pas forcément triviaux...
Fonctions holomorphes?

Bonsoir Schumi,

Je n'ai pas tout vérifié (et j'ai un peu la crève ce soir) .
Je détaille :

Les Mains : si  Q0,..., Qp  est une base de l'espace des polynômes de degré inférieur à p alors il existe des complexes  xj  deux à deux distincts tels que  (Qi(xj)  soit inversible

L'aime 2 : une suite de polynômes de degré plus petit que p convergeant simplement converge uniformément sur R .

donc  pour tout  e>0 il existe n0  tel que n>n0 entraîne  lPn -P l <e  ce qui veut dire que  Pn=P + cn  où  cn  est une constante qui tend vers 0 .
si  z(n)  est racine de  Pn , P(z(n))= -cn  tend vers 0  donc  z(n)  est proche d'une racine de P .

Erratum  : le lemme 2 ne marche pas sur R, il marche sur tout compact de C et donc ce n'est pas si clair que ça suffise .....

(ps : il est bien clair qu'on ne peut espérer Pn= P + cste(n) )  

D'après ce qui précéde les coeficcients des Pn convergent vers les coefficients de P, reste à passer aux racines ...OK ?

Ouais... modulo tes deux lemmes (surtout le deuxième; le premier passe maisle deuxième ne m'a pas l'air spécialement triviale quoique naturel) effectivement, il me semble que ça marche.

Comment tu fais pour passer aux racines ?

Pour le lemme 2  je détaille ce soir si je peux .

En fait, c'est à peu près la méthode qu'on avait en TD. Je mets si je retrouve ce qu'on avait fait, ce qui n'est pas gagné d'avance.

Soit donc Pn la suite , on peut la décomposer sur une base f1,...,fq  

Pn = a_n,1f₁+...+ a_n,qf_q

si  f  est la matrice inversible des  fi(xj)  alors le vecteur colonne des

a_n,i = F^-1 x le vecteur colonne des Pn(xj)

d'où la convergnce des suites de coefficients.

(d'ailleurs ça suffit pour les coefficients) maintenant en dimension finie toutes les normes (sup des coefficients et norme sup sur un compact) sont équivalentes , d'où les résultats.

Bonjour,
je ne sais pas si ma méthode est correcte

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P_n CVS ver P
donc : x, il e>0, |Pn(x)-P(x)|<e
soit un tel Pn. Pn= (a_i,n*xⁱ
supposons qu'il existe des a_i,n qui ne tendent pas ver a_i
Ainsi, en considérant les fonctions symétriques élémentaires de Pn(x)-P(x), on remarquera qu'elle ne peuvent valoir 0 en +oo, mais plutôt un polynôme non nul. donc Pn(x)-P(x)->Q(x) ou Q différent de 0

Salut tout le monde

Alors j'ai eu du mal Lolo217 mais je crois avoir saisi ta méthode qui est assez élégante. Je relis attentivement histoire de voir s'il n'y a pas d'erreurs !

hatimy > peux-tu expliciter? Je ne vois pas le rôle des fse !

Merci mais elle est pas finie, faut encore passer des coefficients aux racines , à moins que ça soit trivial ?