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Après avoir introduit f : x --> x-x² , on trouve que u_n+1 = f(u_n)

De plus, l'intervalle ]0,1[ est stable par f et u_n+1-u_n = -u_n² < 0  donc (u_n) est décroissante et minorée par 0.

Elle converge donc vers l élément de ]0,1[

f(l) = l  <=> l² = 0  <=> l = 0

Donc (u_n) converge vers 0

A ce stade, on en déduit déjà que (u_n) ne diverge pas grossièrement. Mais surtout, comme :

(u_n) converge  <=>  (u_n+1-u_n) converge.

On en déduit que (u_n²) converge

Je regardais la suite plus tard ...

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Pour la suite je vais appliquer le théorème des relations de comparaison :

Pour cela, je vais me servir de (u_n) converge vers 0

(u_n+1)^a-(u_n)^a = (u_n)^a[(1-u_n)^a-1] = -a.(u_n)^a+1 + o(.(u_n)^a+1)

Donc je prend a = -1

On a donc :  1/u_n+1 - 1/u_n ~ 1

(1) dvg et ce sont des séries à termes positifs donc :

S_n-1(1/u_n+1 - 1/u_n) ~ S_n-1(1)

Soit :

1/u_n - 1/u₀ ~ n

Or  1/u₀ = o(1/u_n)  donc :

u_n ~ 1/n

Ainsi comme (1/n) diverge, (u_n) diverge

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ln(u_n+1/u_n) = ln(1-u_n) ~ -u_n

D'où comme ce sont des séries à termes négatifs et que (u_n) diverge, on en déduit :

(ln(u_n+1/u_n) diverge

J'attends la correction à présent :D

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Je n'ai pas le temps de regarder avec précision tout maintenant mais tu as utilisé pratiquement la même méthode que moi et tes résultats me semblent donc tous bons.
La seule différence avec ma solution est que je donnais les résultats dans l'ordre, en utilisant le premier pour montrer le second (u_n² ~ 1/n², puis en sommant l'équivalence puisque les deux séries sont à termes positifs).