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On a pour tout n positif, v_n+1-v_n=1/2((v_n²+u_n)-v_n, qui est clairement positif, car u_n est positif. (v_n) est donc croissante. De plus, v₀=1 donc v_n1
On a : 2v_n+1-v_n=(v_n²+u_n) donc u_n=4v_n+1(v_n+1-v_n). * Si u_n converge, on note lim(u_n)=l :
Comme v_n+11, on obtient pour tout k positif, v_k+1-v_ku_k/4, donc en sommant jusqu'à n-1, on a v_nv₀+1/4(u_k) (pour k allant de 0 à n-1). Comme les u_n sont positifs, u_n est croissante donc (u_k)l, d'où v_n1+l/4.
(v_n) est donc croissante et majorée : elle converge.
* Si (v_n) converge :
alors en particulier, (v_n) est majorée par un certain M positif (on prend M=lim((v_n)).
On a vu que u_n=4v_n+1(v_n+1-v_n), donc u_n4M(v_n+1-v_n), donc (k=0..n)u_k4M(v_n+1-v₀), donc u_n4M(M-1).
u_n est donc croissante est majorée : elle converge.
On a donc l'équivalence