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Je cherche mais je trouve un résultat comme 2.445 or ça semble tendre vers .

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Effectivement ça tend vers pi/2, à prouver !

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Bah le truc, c'est que je ne vois pas de pièges ...

Somme de Riemann + on sort du arcsinus = Pi/2

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Normal que tu n'aies pas vu le piège, tu es tombé dedans Ce n'est pas une somme de Riemann, la fonction n'est pas continue en 1 !

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Ah, ceci explique cela

Je préfère donc laisser les sups s'amuser un peu, ce serait idiot de balancer une soluce

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héhé, a vrai dire c'est peut être plus niveau spé

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En utilisant la continuité et la croissance sur de la fonction

on a pour tout entier et tout ,

et en sommant pour on a pour tout , _{sauf erreur bien entendu}

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Oui c'est bien ça (ce n'est pas drôle, tu n'es plus en prépa )

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Voici un dessin pour comprendre :


Voici un beau demi cercle d'équation que je compose avec .
On remarque que la "densité" des nombre relativement proche de n est quasi infini et que l'on ne peut pas obtenir 0. Cette densité dépend de l'opposée de la dérivée du cercle :

et cette densité agit comme un coefficient je multiplie par   on obtiens et on intègre de 0 à n.

Le plus simple est de prendre n=1 (on reconnais ainsi arcsin), on a :

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Le résultat est bon, ça tend bien vers l'intégrale de 1/V(1-x²) mais c'est justement la partie difficile à justifier. Ton raisonnement est plutôt joli mais il y a beaucoup de blabla et pas beaucoup de démonstration, mais chapeau quand même

En fait tu sembles passer à côté du problème. En fait cet énoncé aurait l'air simple pour un sup. Je ne sais pas si tu as entendu parler de sommes de Riemann, mais en gros, cela nous dit que pour une fonction continue sur [0,1] (fermé), on a :
.
La difficulté présente est que la fonction f dont on prend la somme de Riemann n'est pas continue sur [0,1] mais seulement sur [0,1[, il faut donc justifier que ça tend quand même vers l'intégrale, pour cela on utilise l'intégrabilité et la croissance de f sur [0,1[ comme le fait Elhor si tu veux voir sa preuve

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Il y a quand même quelque chose que je ne comprends pas, qu'est-ce que tu appelles densité? Je ne vois pas trop ce que représente tes traits verts

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Ok, je vais regarder ça.
J'avais trouvée cette méthode hier soir, mais je n'ai pas pu poster.
Sinon comme tu l'as sans doute remarqué je préfère exprimer un problème sous une forme géométrique que analytique... et je fais "à vu de nez" sans justifier.
Bon si tu as des questions je peux te répondre ce soir mais pas demain.

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Les trais vert représentent la composition de avec (je suppose que tu as déjà fait ça avec des suites u_{n+1}f(u_n).
En prenant les entiers (1,2,3,4,5,6), on remarques que les traits qui descendent se tassent vers N et on remarque que ça dépend de la pente du cercle.
Si on prend sur R, je parle de densité.J'espère que tu vois ce que je veux dire, mais n'hésite pas à revenir à la charge.

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Oui je vois dans le fond ce que tu fais, faudrait mettre ça au propre ça pourrait être joli