Exo défi sup > limite sous l'intégrale

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Exo défi sup > limite sous l'intégrale
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Nightmare  10-01-09 à 16:32
Bonjour,

bon un petit défi pour les sup, peut être qu'il y aura plus de monde 

Citation :
Soit .

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Edit : L'exercice étant de niveau sup, aucun théorème d'interversion limite-intégrale n'est autorisé (l'exercice étant sinon inutile)
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Youpire : Exo défi sup > limite sous l'intégrale  10-01-09 à 18:37
Bonjour Jord



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A vu comme ça, ça à l'aire de tendre vers f(0)...mais je me méfie des intuitions premières !

Si je trouve deux minutes j'essaie de me pencher dessus.
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matovitchre : Exo défi sup > limite sous l'intégrale  10-01-09 à 19:27
Salut !

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Bon juste pour dire comment je le vois : les x se "tassent" vers 0 si l'on fait x^n donc je dirais f(0).
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Nightmarere : Exo défi sup > limite sous l'intégrale  10-01-09 à 19:33
Salut à vous deux :

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Oui on intuite bien que ça va tendre vers f(0), à prouver maintenant !
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1 Schumi 1re : Exo défi sup > limite sous l'intégrale  10-01-09 à 19:54
C'est là qu'on voit quand même la différence entre l'artillerie lourde de spé et la canifs de sup...



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ottore : Exo défi sup > limite sous l'intégrale  10-01-09 à 21:12
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Attention vers f(0) et non vers 0 
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infophilere : Exo défi sup > limite sous l'intégrale  11-01-09 à 11:40
Bonjour ;



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Je suppose que tu attends une démo sans le bazooka de la convergence dominée ? ^^
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Nightmarere : Exo défi sup > limite sous l'intégrale  11-01-09 à 16:51
Kevin > 
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exo défi sup


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Nightmarere : Exo défi sup > limite sous l'intégrale  11-01-09 à 18:07
Pas de preuve?
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Youpire : Exo défi sup > limite sous l'intégrale  11-01-09 à 19:08
en même tmps comme pour x[0;1[ on à  le résultat paraît évident non ?
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ottore : Exo défi sup > limite sous l'intégrale  11-01-09 à 19:14
On peut trouver une suite f_n qui converge vers f (simplement) mais pour laquelle l'intégrale de la limite n'est pas égale à la limite de la suite d'intégrales ...
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Nightmarere : Exo défi sup > limite sous l'intégrale  11-01-09 à 19:15
L'intervertion limite et intégrale ne se fait pas automatiquement Youpi.



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Youpire : Exo défi sup > limite sous l'intégrale  11-01-09 à 19:30
disons juste que là on voit pas ce qui pourrait l'empêcher ! 
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Nightmarere : Exo défi sup > limite sous l'intégrale  11-01-09 à 19:51
La question est plutôt de savoir ce qui pourrait la justifier plutôt... Il y a des théorèmes derrière l'interversion limite-intégrale, convergence uniforme, convergence dominée. Ici il se trouve que la convergence dominée marche, mais comme je l'ai dit à Kevin, ce n'est pas la preuve attendue puisqu'elle n'est pas niveau sup (et l'exercice n'aurait aucun intérêt en utilisant ce théorème).
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Youpire : Exo défi sup > limite sous l'intégrale  11-01-09 à 20:02
Je sais bien tout cela Jord sauf que pour moi, contrairement à toi, toutes ces maths de prépas sont plutôt loin, et je n'ai qu'un souvenir assez vague des théorèmes de convergence. 

Je ne fais pas trop la différence entre un théorème de sup et un théorème de spé.

J'ai donc souvent une intuition de ce qui peux se passer (et encore pas toujours juste) mais je ne sais pas toujours le démontrer proprement.

Bref je suis un boulet ! 
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Nightmarere : Exo défi sup > limite sous l'intégrale  11-01-09 à 20:07
Pas de soucis Youpi, j'ai préféré précisé au cas où quelqu'un passe sur le topic et se dise qu'on peut intervertir limite et intégrale sans rien dire.



Pour la démonstration propre, je ne dis rien au cas où certains veulent se lancer, tout ce que je peux te dire, c'est que c'est très intuitif 
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matovitchre : Exo défi sup > limite sous l'intégrale  11-01-09 à 20:17
Bon ben je tente... 



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On a  d'où .
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matovitchre : Exo défi sup > limite sous l'intégrale  11-01-09 à 20:19
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Euh  pas .
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Nightmarere : Exo défi sup > limite sous l'intégrale  11-01-09 à 20:25
Matovitch > 
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Je n'ai pas compris ... Déjà, pourquoi  ? Ensuite, admettons que  impliquerait la convergence de notre intégrale vers f(0)? Encore la convergence de x^n vers 0, mais de l'intégrale, là je vois pas...



Bref, de toute façon, lis ce que j'ai écrit à Youpi, ne cherchez pas l'interversion limite-intégrale, on l'a dans ce cas, mais sa justification n'est pas niveau sup
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Nightmarere : Exo défi sup > limite sous l'intégrale  11-01-09 à 20:27
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Je n'avais pas vu ta correction, bref ça ne change rien (surtout que c'est 1/(n+1) )
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matovitchre : Exo défi sup > limite sous l'intégrale  11-01-09 à 20:32
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ok ! De toute manière je n'ai pas les outils de sup (je les aurai peut-être l'année prochaine).Ah oui c'est n+1 ! 

Si tu pouvais regarder mes derniers messages sur la comparaison série intégrale...j'attends un contre-exemple. 
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carpediemExo défi sup > limite sous l'intégrale  11-01-09 à 20:49
salut



je dirais:





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on intégre de 0 à 1-1/n puis de 1-1/n à 1

la première intégrale tend vers 1*f(0) et la 2e vers 0*f(1)



la continuité doit suffire pour mettre ça au propre



si 1/n ne convient on met plutôt 
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Nightmarere : Exo défi sup > limite sous l'intégrale  11-01-09 à 21:31
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Ouaip c'est l'idée Carpediem. Et comment justifies-tu les limites des deux intégrales?
 Posté par 
carpediemExo défi sup > limite sous l'intégrale  11-01-09 à 22:01
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pour e<1 fixé:



pour la première:



sur [0,1-e] xf(xn] cv uniformément vers xf(0) donc l'intégrale cv vers f(0)(1-e-0)



pour la 2e:



sur le compact [1-e,1] f(xn) est continue donc bornée

donc en prenant la valeur absolue on la majore par sup|f(xn)*e



et en faisant tendre e vers 0 on obtient le résultat



ce me semble-t-il

 Posté par 
Nightmarere : Exo défi sup > limite sous l'intégrale  11-01-09 à 22:09
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Le but est justement de ne pas utiliser de théorème d'inversion limite-intégrale qui ne sont pas au programme de sup, donc pour la première il faut trouver autre chose (rien de bien difficile) 
 Posté par 
carpediemExo défi sup > limite sous l'intégrale  11-01-09 à 22:17
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on fait comme pour la 2e en majorant |f(xn)| par sup|f| sur [0,(1-e)n] qui sera proche de f(0) à moins de ... près

 Posté par 
Nightmarere : Exo défi sup > limite sous l'intégrale  11-01-09 à 22:21
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Ouaip 
  Posté par 
carpediemExo défi sup > limite sous l'intégrale  11-01-09 à 22:37
ouais je sais ça manque un peu de rigueur

mais bon je ne passe plus d'exam

j'en fais passer.... et là je suis rigoureux  



enfin faut pas (plus) être méchant maintenant

alors je le suis pas





...rigoureux mais pas méchant....