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J'avais déjà fait l'exercice (avec pas mal d'indications il faut l'avouer, brut comme ça, ça doit pas être évident ) donc je ne m'y colle pas. Par contre, j'aimerai bien voir ta preuve, du moins, ce qu'elle utilise. Tu as comme moi des calculs bourrins à n'en plus finir avec des séries de fonction ou tu as une preuve élégante?

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Concernant la 1) que je n'ai pas traitée par contre, est-ce qu'on peut expliciter cette fonction? Parce que ça à l'air de s'exprimer pas trop difficilement.

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Pour le 1), on m'a donné la fonction et on m'a dit de vérifier que ça marchait (très très calculatoire mais pas insurmontable).
Par contre pour la 2), il n'y avait plus d'indication donc là, j'y suis allé vraiment bourrin. En fait j'ai cherchée ladite fonction sur la forme d'une série presque entière, le truc vraiment chiant à prouver étant qu'elle était , le reste étant vraiment une partie de plaisir à côté. Donc oui, je pense qu'on doit avoir des trucs assez similaires.

Surprenant non? Honnêtement, au début j'y croyais pas trop.

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effectivement, très joli! J'avais posté un résultat similaire en analyse complexe.

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Pour le 1) je pars de l'existence (connue) d'une fonction nulle en 0 ainsi que toutes ses dérivées sans être la fonction nulle. L'exponentielle de -1/x^2 prolongée en 0 par 0 fait l'affaire.
En en prenant une primitive sur ]0,+l'infini[ prolongée par une constante sur ]-l'infini,0] on obtient une fonction indéfiniment dérivable sur R.
Avec un procédé analogue, on peut construire une fonction non constante sur [1,2] ayant toutes ses dérivées nulles aux extrémités de l'intervalle. Une primitive de -1/((x-1)^2.(x-2)^2) doit faire l'affaire.
En prolongeant par des constantes judicieuses sur [0,1] et sur [2,+l'infini[, puis en prolongeant par parité et enfin en déformant un peu le graphe, on peut obtenir une fonction indéfiniment dérivable sur R, valant 1 sur [-1,1] et 0 en dehors de [-2,2], qu'on peut donc prendre pour fonction psi.

Pour le 2): En multipliant psi par a_0 et en lui ajoutant  un polynôme Pn bien choisi, j'obtiens une fonction Gn dont les dérivées en 0 valent a_0,..,a_n.
Il me faudrait montrer que la suite de fonction Gn converge vers une fonction G et que cette fonction est solution de notre problème.
Malheureusement, j'ai oublié les théorèmes adéquats.
Le fait que psi est nulle hors de [-2,2] doit jouer un rôle.

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l'idée est de recoller des fonctions du genre exp(-1/x^2).

Sinon je pense qu'on peut s'en tirer avec des produits de convolutions de fonctions bien choisies.

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Ok pour le 1). T'es plutôt bien parti pour le 2). Le fait que psi est à support compact permet d'annuler des termes tros gros dans un premier temps. (Après un certain nombre de dérivation, il n'y a plus d'annulation mais alors les mêmes termes ont été suffisamment rétréci).

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Par un produit de convolution? J'aimerais bien voir ça si t'as le temps de détailler, ça me paraît plus élégant que les trucs bourrin avec les exp(-1/x)...

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pour la 2, un truc de la forme (ou pas loin de cette forme)
f(x)=a1(x-1)phi1(x)+a2(x-2)^2phi2(x)+a3(x-3)^3phi3(x)+...

En supposant que phin soit le translaté de phi1(x) où phi1 est défini en 1 et on peut sans aucun problème se débrouiller pour que le support de phi soit inclus dans (-1/3,1/3).
On trouve un systeme de beaucoup d'équation à beaucoup d'inconnues, mais ca n'est pas un probleme, le systeme est trivial.

Pour le produit de convolution, il me semble à vue de nez que ca doit fonctionner, il faudrait surement détailler un peu, mais je pense qu'en convoluant une fonction caractéristique avec une application Cinfinie bien choisie, on doit s'en sortir. Je n'ai jamais essayé cela dit.

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http://en.wikipedia.org/wiki/Bump_function