Exo défi: Théorème de Dirichlet (cas particulier).

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Exo défi: Théorème de Dirichlet (cas particulier).
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1 Schumi 1  07-05-08 à 17:31
Bonsoir à tous, 

Un 'ti défi sympa pour la soirée. (Archi classique certes, mais sympa quand même).

Soit n un entier naturel (non nul). Montrez qu'il existe un infinité de nombre premier p tel que .

Bonne réflexion.

Ayoub.
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blangre : Exo défi: Théorème de Dirichlet (cas particulier).  08-05-08 à 09:26
Effectivement, classique de chez classique 
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simon92re : Exo défi: Théorème de Dirichlet (cas particulier).  08-05-08 à 12:40
tellement classique que je vais pas participer 

(c'est faisable par un terminale?)
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1 Schumi 1re : Exo défi: Théorème de Dirichlet (cas particulier).  08-05-08 à 12:45
Je me rappelle l'avoir fait l'an dernier (ouh que c'était moche...). Ceci dit, il y avait une indication ou un truc du genre... Donc oui, avec des moyens de Term spé, c'est largement faisable.

 Posté par 
blangre : Exo défi: Théorème de Dirichlet (cas particulier).  08-05-08 à 15:50
Citation :
avec des moyens de Term spé, c'est largement faisable.

 Ah bon ? Parce que la démo que je connais utilise les polynômes cyclotomiques.
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Camélia re : Exo défi: Théorème de Dirichlet (cas particulier).  08-05-08 à 15:54
Bonjour

Moi non plus je ne connais pas de démonstration élémentaire, sauf pour des n particuliers, bien choisis. je suis donc très intéressée...
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1 Schumi 1re : Exo défi: Théorème de Dirichlet (cas particulier).  08-05-08 à 17:06
Vous me faites douter là...  Faudrait que je retrouve l'énoncé de l'an dernier...

blang >>

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Citation :
la démo que je connais utilise les polynômes cyclotomiques.

Chut! Faut pas le dire trop fort. 

Ayoub.
 Posté par 
blangre : Exo défi: Théorème de Dirichlet (cas particulier).  08-05-08 à 17:13
@Ayoub :

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 J'étais sûr d'avoir blanké. Désolé 
 Posté par 
1 Schumi 1re : Exo défi: Théorème de Dirichlet (cas particulier).  08-05-08 à 17:15
blang et Camélia >>

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Vous aviez raison de douter! L'exo de Term prouve qu'en fait il existe une infinité de nombre premier de la forme kp+1 où p est premier lui aussi. Cas très très particulier donc... Au temps pour moi... 
 Posté par 
blangre : Exo défi: Théorème de Dirichlet (cas particulier).  08-05-08 à 18:57
Ah ouais, tiens, je viens de trouver une solution niveau TS 

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Soit p un entier premier impair et  .

 Alors il existe un entier premier q>p aussi grand qu'on veut auquel on peut attacher un entier x tel que  .

(voir par exemple ici : Exo défi: Arithmétique et polynômes.) 

Mézalor :    donc   et on voit que    (sinon on aurait   )

p est donc l'ordre de x dans  et donc p divise q-1.

(on peut rerédiger cette partie à coup de division euclidienne pour que ce soit vraiment accessible au niveau TS mais, là, j'ai la flemme ) 

 Posté par 
blangre : Exo défi: Théorème de Dirichlet (cas particulier).  08-05-08 à 19:10
Je voulais dire, bien sûr, une solution de l'exo modifié par Ayoub à 17:15.
 Posté par 
1 Schumi 1re : Exo défi: Théorème de Dirichlet (cas particulier).  09-05-08 à 10:07
blang >>

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J'en ai une encore plus accessible pour l'exo modifié. 
 Posté par 
blangre : Exo défi: Théorème de Dirichlet (cas particulier).  09-05-08 à 15:14
@Ayoub : 

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Citation :
J'en ai une encore plus accessible pour l'exo modifié.

Ok, ça m'intéresse diablement 
 Posté par 
1 Schumi 1re : Exo défi: Théorème de Dirichlet (cas particulier).  09-05-08 à 15:30
Je la mettrai avec le correction générale de l'exo.

 Posté par 
1 Schumi 1re : Exo défi: Théorème de Dirichlet (cas particulier).  10-05-08 à 10:28
Je mets la correction en blanké pour laisser chercher ceux qui le souhaitent (si tant est qu'il y en est... ).

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D'abord le cas très très particulier:

Lemme: Soient p un nombre premier et x un entier. Tout nombre premier q qui divise  est de la forme np+1.

Preuve: On pose . Cet ensemble est non vide donc minoré. Notons  son plus petit élément.

Soit n un élément quelconque de . On écrit une division euclidienne: . b est donc nul (car  et on a clairement (x+1)b-xb=0 (mod q)). D'où .

Comme p est dans  il vient que  ( étant impossible).

Comme on a aussi  il vient . C'est exactement ce qu'on voulait.

Pour le cas très très particulier, on prend x=n!, on remarque alors que q>n. D'où le résultat.

Cas initial.

Lemme: Soient n et a deux entiers, et p un nombre premier divisant  mais ne divisant pas n. Alors .

On sait que l'on a  quelque soit m. On applique cette formule à n. Il vient que  dans Fp.

Mais comme p ne divise pas n,  est à racines simples et donc a est racine simple de . L'ordre de a est donc forcément n.

En effet, dans le cas contraire, p diviserait un  avec d divseur strict de n. Ce qui contredirait le fait que a soit racine simple de .

Pour revenir au cas général, on refait comme avant: a=k! ...

Ayoub.
  Posté par 
Camélia re : Exo défi: Théorème de Dirichlet (cas particulier).  10-05-08 à 15:06
Merci Ayoub! je ne connaissais pas...