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Au pif: En dimension finie, E tout entier. En dimension infinie, le tout ou un hyperplan affine.

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La codimension n'est pas le problème: par exemple, l'espace des fonctions continues de L^1(R) nulles sur les entiers est un convexe dense dans l'espace des fonctions continues et L^1 sur R.

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Tu as un bon pif

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Dans le cas où E est de dimension finie, j'arrive à montrer que toute partie convexe C de E dense dans E est égale à E.
Je le fais par récurrence sur la dimension de E en montrant que l'intersection de tout hyperplan H de E avec C est une partie C' de H, convexe et dense dans H

Dans le cas où E est de dimension infinie, C peut ne pas être un espace vectoriel, comme le montre l'exemple suivant:
E est l'espace des fonctions continues de [0,1] dans R, muni de la norme infinie. C est l'ensemble des fonctions f s'écrivant sous la forme f(x)=t sin(x) + P(x)   où t est un élément de [0,1] et P est une fonction polynomiale. C est une partie convexe de E, dense dans E; de plus, C n'est ni un sous-espace vectoriel, ni un sous-espace affine.

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Puis-je voir ta démo pour montrer que l'espace est E tout entier? Elle m'intéresse !

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L'étude du cas où n=1 est évidente.

Supposons maintenant que toute partie convexe dense d'un R-espace vectoriel E de dimension n est égale à E.
Soit maintenant une partie convexe dense C d'un R-espace vectoriel E de dimension n+1.
Considérons l'intersection de C avec un hyperplan H de E. Elle est convexe comme intersection de deux parties convexes. Montrons que cette intersection est dense dans H.
L'idée est simple, mais un peu pénible à rédiger. Pour un élément de h de H, on va chercher un élément b de C dans le voisinage de h, situé dans "le demi-espace situé au-dessus de H", un élément c de C situé dans "le demi-espace situé au-dessous de H". Le segment [b,c] recoupe H en un point d situé dans le voisinage de h.
La démonstration rigoureuse se trouve ci-dessous

On note Ra un supplémentaire de H, on peut supposer de plus que a est de norme 1. On considère la forme linéaire f qui à tout élément h+ta associe t (avec des notations évidentes). f est continue (application linéaire en dimension finie).

Soit h un élément de H et 2r un réel strictement positif. h+ra est un élément de E qui n'appartient pas à H, l'intersection de la boule ouverte B(h+ra,r) et de l'image réciproque de ]0,+[ par f est un ouvert contenant h+ra. Comme C est dense dans E, il contient un élément b de cette intersection; cet élément b possède deux propriétés: il est dans la boule B(h,2r) et f(b)>0.
En raisonnant avec h-ra, on démontre de la même manière l'existence d'un élément c de C tel que:  c appartient à la boule B(h,2r) et f(c)<0.
Comme C est une partie convexe de E, il contient le segment [b,c]. Ce segment [b,c] est inclus dans la boule B(h,2r) (toute boule ouverte est convexe), et, par le théorème des valeurs intermédiaires, contient un élément d tel que f(d)=0 donc tel que d appartient à H.
Toute boule   B(h,2r)H   contient donc un élément d de C.
Ce qui termine la démonstration du fait que l'intersection de C et de H est dense dans H.

On vient de démontrer que l'intersection de C avec tout hyperplan H est une partie convexe dense de H et est donc égale à H (puisque H est de dimension n).
Donc, C est égale à E.
Et on vient de démontrer la propriété au rang n+1.