Bonsoir !
Je recopie l'énoncé que j'ai eu beaucoup de mal à lire :

Pour tout n,m de l'ensemble démontrez qu'il n'existe pas
une fonction tel que .

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Mais toute les fonctions telles que conviennent non ?

matovitch >>>

Bonjour

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Oui mais c'est cela qu'il faut montrer non? On sait que si on remplace m par 0,

donc f(0)=0 .Dans le cas ou n=0,on trouve . D'ailleurs si cette fonction existe, ses valeurs varient en fonction des valeurs qu'il prennent:
f(n+f(m_k)) = f(n) - m_k et f(n +f(m_j))=f(n)-m_j
on peut en déduire : si f(m_k) = f(m_j) alors m_k = m_j.
En gros, avec ces deux valeurs m,n même remplaçant par 0, il y aura une contradiction.

matovitch>>>

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Il faut trouver cette contradiction

Non tu as bien lu la question il faut montrer qu'il n'existe aucune fonction pour tout couple (m;n).

La question peut être reprise comme " Pour tout.... démontrer qu'il n'existe aucune fonction ....".
Donc tu avais bien lu la question au début.

non, la question doit être : "démontrez qu'il n'existe aucune fonction tel que pour tout......" sinon c 'est faux

Oui...

Alors aucune proposition??

matovitvh=>>> Bah démontre cette évidence.

La c'est plus dur !

Cette fois, je crois que c'est bon.

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On a en additionnant membre à membre
on en déduit que fof est impaire, donc f est impaire, et vu que f est une
bijection de Z dans Z, on a f(m) > ou < 0 si m < 0. ( et f(0) = 0)

Donc si m < 0, f(m)>0 et f(f(m))<0 qui est du signe de m donc impossible

et si m<0, f(m)<0 et f(f(m)<0 qui est aussi du signe de m donc impossible

etc...on conclu...

matovitch>>> ok. je n'ai pas trop observé les détails, mais cela smble correct.

Tu veux aussi voir ma démo?

Bonjour matovitch,
Ta démonstration du 16/11 à 19h03 n'est pas correcte.

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fof=-f est tout-à-fait possible pour une bijection impaire de Z dans Z.
Exemple:
f(0)=0 , f impaire et pour tout n1:
f(2n-1)=2n , f(2n)=-(2n-1).
On en déduit fof(2n-1)=-(2n-1) et fof(2n)=-2n.
f est une bijection car f^-1=-f.

Dans ce cas-là une nouvelle démo à proposer

jandri et montereau >>

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fof=-f est différent de fof(m) = -m non ?

Effectivement j'ai écrit à tort fof=-f , je voulais dire fof(m)=-m.
J'écrirai une démonstration de l'exercice proposé dans une heure.

Voici un sujet passionnant! Exo défi : Presque involutive !
J'ai dit un peu n'importe quoi à 19:03 car on ne peut rien conclure de fof impaire...Dur, dur apparemment !
Je suis curieux de voir une démonstration...

Mais pour la fonction de Jandri, on a :

f(-1)=-f(1)=-2 et f(-2)=-f(2)=4-1=31 donc ça ne marche pas. (ça ne marche que sur )

Sauf erreur...

Voici une démonstration de:
il n'existe pas d'application de Z dans Z telle que pour tout x et tout y on ait f(x)-f(x+f(y))=y.

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1) y=0 donne pour tout x : f(x+f(0))=f(x) donc f a pour "période" f(0)
2) y=f(0) donne alors f(0)=0.
3) x=0 donne pour tout y : f(f(y))=-y
4) y=f(z) donne f(x-z)=f(x)-f(z)
avec x=0 on a f impaire d'où en changeant z en -z: f(x+z)=f(x)+f(z)
5) par récurrence, f(n)=an si a=f(1)
6) en reportant dans l'équation initiale: ax-a(x+ay)=y donc a²=1 qui est impossible dans Z.

matovitch,
L'exemple que j'ai proposé le 19/11 à 23h06 est une bijection impaire de Z dans Z qui vérifie pour tout n:
fof(n)=-n. Elle ne vérifie pas l'équation proposée par Montereau puisque il n'y a pas de fonction de Z dans Z qui la vérifie.

jandri => c'est "a² = -1 ce qui est impossbile" non?.

C'est exact, dans ma démonstration du 20/11 on aboutit à a²=-1 qui est impossible dans .
Merci à Montereau d'avoir remarqué la coquille.