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exo des suites
* Modération > *** Bonjour *** *
On considère les suites (un) et (vn) définies pour tout entier naturel ? par :
u0 = -1 et v0 = 2 et un+1 = (un+vn)/2
et vn+1 =(un+4 vn)/5
1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel ? on a ?? ? ?? < 0
2. Déterminer le sens de variation des suites (??) ?? (??).
3. Déduire des questions précédentes que pour tout entier naturel ?, on a ?1 ? ?? < ?? ? 2
4. Les suites (??) ?? (??) sont-elles convergentes ? Justifier.
5. Montrer que la suite (??) définie par ?? = 2?? + 5?? est constante et déterminer la valeur de cette constante.
6. On admet que les suites (??) ?? (??) convergent vers le même réel L.
En déduire la limite commune L des suites (??) ?? (??)
Bonjour,
Pour la 1) on te demande une récurrence.
Donc :
- vérifie que c'est bien vrai pour n=0
- puis suppose que c'est vrai pour n et montre que ça l'est encore pour n+1.
Pour cela forme un+1-vn+1, simplifie, utilise ton hypothèse de récurrence, ....
Un truc à faire quand on est totalement perdu, c'est de calculer les premiers termes.
1. ça aide à se concentrer sur l'exercice,
2. ça va forcément aider à un moment ou un autre.
Par exemple, pour la question 2, si on a calculé les 1ers termes, on va avoir une 'intuition' de la réponse ; ça ne suffira pas, il faudra une preuve, mais ça va aider.
Ensuite, tu as forcément trouvé des débuts de réponse pour les premières questions.
d'accord
avec n=0 j'ai trouver que c'est égale à -3 donc -3<0
avec la récurrence j'ai trouver (3Un-3Vn)/10
j'ai sortie le -3 en facteur ca me donne (-3(Un+Vn))/10<0
est ce que c'est juste
ca me donne (3(Un-Vn))/10<0 plutôt
et donc là on utilise l'hypothèse de récurrence et on en conclut que c'est bien négatif aussi.
la 2) maintenant. Qu'as-tu comme idées pour étudier le sens de variation de ces suites ?
pour la question 2
U(n+1)-Un=(𝑢𝑛+𝑣𝑛)/2-𝑢𝑛= (-un+vn)/2 donc -𝑢𝑛+𝑣𝑛>0 vu que -𝑣𝑛+𝑢𝑛<0
Un est croissante
V(n+1)-Vn=( (𝑢𝑛+4 𝑣𝑛)/5)-Vn= (Un -Vn) /5
Un-Vn<0 comment on la prouver dans la récurrence donc Vn est décroissante
pour la question 3
Un est croissante avec premier terme -1 donc elle est -1≤ Un
Vn est décroissante avec premier terme 2 donc elle est 𝑣𝑛 ≤ 2
Bonjour,
Désolée d'avoir "pourri" le premier message.
J'ai reconstitué le début.
@ilyesboudib,
Évite les caractères spéciaux qui peuvent passer à la trappe.
d'accord
pour la question 4 est ce qu'on peut dire que Un est convergente car elle est majorée par 2 est elle est croissante donc elle converge vers 2
et Vn est convergente ca elle est minorée par -1 est décroissante donc elle converge vers -1
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