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Niveau autre
Exo ECS1: Polynômes et complexes
Posté par namlam
Bonjour,
J'ai deux exercices à faire mais pour l'un comme pour l'autre je ne sais pas très bien par où commencer. Pourriez vous au moins me donner une piste pour que je puisse continuer?
Merci d'avance
Ex1: Soit A un polynôme dont les restes? (a vrai dire je ne sais pas car il manquait un mot dans l'exo 
) dans les divisions par X-1, X-2, et X-3 dont 3, 7, 13.
Determiner le reste de la division de A par (X-1)(X-2)(X-3)
Ex2: Trouver une condition nécessaire et suffisante sur a, b, c pour que les points d'affixe a, b et c forment un triangle équilatéral
Voila
Bonjour
la 2, c'est a+bj+cj² = 0 (ou une permutation de a, b, c).
tu écris que le "vecteur" (c-a) est l'image du "vecteur" (b-a) par une rotation d'angle 60° (ou 
/6) laquelee correspond à un multiplication par ei /6.
donc (c-a) = ei /6(b-a)
or, soit 1,jet j² les racines 3ème de l'unité, donc telles que 1+j+j² = 0
ei /6= -j² (dessine un cercle trigo, tu verras)
donc -j²(b-a) = c-a
développe, et avec l'aide de 1+j+j² =0 tu trouveras c+aj+bj² =0
OK?
Je pense que j'ai compris, en tout cas je vais essayer de le refaire seule.
Merci beaucoup jeanseb! 
Pour le premier exo, personne n'aurai une petite piste s'il vous plait?
c'est le théorème chinois
l'as tu vu
tu peux chercher un polynome sous la forme
a0+a1(X-1)+a2(X-1)(X-2)+a3(X-1)(X-2)(X-3)
pour x=1 tu trouves a0
pour x=2 tu peut trouver a1
etc
Non je ne l'ai pas vu. Mais je ne comprend pas trop le rapport ici, puisqu'on me demande de chercher un reste et non pas un polynôme...'
'
Peux-tu m'explique? merci d'avance
Pour la 1)
On divise A par le polynome (x-1)(x-2)(x-3)qui est du 3ème degré. Donc le polynome reste est du 2ème degré.
Donc: A(x) = (x-1)(x-2)(x-3)Q(x) + ax²+bx+c
Ensuite tu remplaces x par 1 [puis 2 puis 3] pour calculer a b et c:
* A(1) = 3 car A(x) = (x-1) R(x)+ 3 (hypothèse)
par ailleurs, d'après ce qu'on a écrit, A(1) = a.1²+b.1+c = a+b+c
conclusion: a+b+c = 3
* tu fais pareil avec 2, tu obtiens une 2ème equation
* pareil avec 3
Tu as un système 3-3, dont tu tires les valeurs de a,b et c.
Le reste que tu cherches est ax²+bx+c avec les valeurs trouvées.
Voilà. Ca m'est venu ce soir en allant me coucher. J'y retourne!
Citation :
Non je ne l'ai pas vu. Mais je ne comprend pas trop le rapport ici, puisqu'on me demande de chercher un reste et non pas un polynôme...
Non je ne l'ai pas vu. Mais je ne comprend pas trop le rapport ici, puisqu'on me demande de chercher un reste et non pas un polynôme...
je viens de voir que tu es en premiere donc c'est plutot la solution de jeanseb qui te conviens
je vais tout de meme t'expliquer ma suggestion où d'ailleurs j'avais fait une faute de frappe
tu peux chercher un polynome sous la forme
a0+a1(X-1)+a2(X-1)(X-2)+Q(X-1)(X-2)(X-3) où Q est un polynome
pour comprendre il faut traduire les données
Citation :
Soit A un polynôme dont les restes dans les divisions par X-1, X-2, et X-3 dont 3, 7, 13.
Soit A un polynôme dont les restes dans les divisions par X-1, X-2, et X-3 dont 3, 7, 13.
(cela peut se traduire par
P(1)=3,P(2)=7, P(3)=13
cela peut servir a faire ce que l'on appelle de l'interpolation
connaissant quelques points du graphe d'une fonction f on cherche a faire un dessin a peu pres joli qui passe par ces points et qui permette de se faire une idee de la fonction
ici f(1)=3,f(2)=7, f(3)=13
et pour cela les polynomes sont pratiques parce qu'ils donnent des courbes assez "lisses"
en cherchant un polynome sous la forme
a0+a1(X-1)+a2(X-1)(X-2)+Q(X-1)(X-2)(X-3) où Q est un polynome
(la partie a0+a1(X-1)+a2(X-1)(X-2) de degré 2 correspondra alors au reste de la division par (X-1)(X-2)(X-3)et on la prends pour approximer notre fonction)
le gros avantage c'est si la courbe obtenue ne parait pas terrible on peut rajouter un point facilement
par ex si on sait f(0,5)=5 on cherche P tel que
P(1)=3,P(2)=7, P(3)=13 et P(0,5)=5
sous la forme
a0+a1(X-1)+a2(X-1)(X-2)+a3(X-1)(X-2)(X-3)+Q1(X-1)(X-2)(X-3)(X-0,5) où Q1 est un polynome
et l'on n'est pas obligé de refaire tous les calculs
c'est le meme a0, a1, a2 qu'avant
il n'y a plus que a3 à calculer
c'est un algorithme qui est connu sous le nom d'algorithme de Newton
les appareils photos numeriques , la tele, internet , l'imagerie medicale utilise ce genre de calcul pour obtenir des images plus nettes avec peu de pixels enregistrés.