Bonsoir, je rencontre un certains nombre de problemes dans un devoir, et donc je vais poser ici ma premiere question en esperant avoir une reponse qui me permette d'avancer, si ce n'est pas le cas je reposterai...
Voila le sujet :
On rappelle qu'une fonction f definie sur un intervalle [c,d] de R est affine s'il existe des reels A et B tel que pour tout x de [c,d], f(x)=Ax+B.
Soit [a,b] un intervalle de R, on note C([a,b]) le R_espace vectoriel des fonctions continues sur [a,b] a valeurs reelles. Soit n un entier naturel non nul et soient a0,a1,...,an-1,an (n+1) reels tels que : a=a0<a1<...<an-1<an=b
Ils definissent une subdivision de l'intervalle [a,b] en n intervalles [ai,ai+1], pour i de 0 a n.
On considere E le sous ensemble de C([a,b]) formé par les fonctions f : [a,b] -> R dont les restrictions a chaque intervalles [ai,ai+1] sont affines.
1° Soit i un entier tel que 0in. Montrer qu'il existe un unique élément de E verifiant et pour tout ji,
2° On pose , montrer que B est une base de E.
voila merci beaucoup si qqn peut m'aider que je puisse continuer...
Merci a tous
Bonsoir jacko78;
(*)Si est une partie de ,notons la fonction indicatrice de définie par:
.
1°
Existence:
prendre:
.
et pour
Unicité:
Soient et deux applications de vérifiant la condition ci dessus.Leur différence est une application continue sur vérifiant:
et vu que on a que et donc qu'elle est nulle sur [a,b] tout entier c'est à dire que . CQFD
2°
Il est facile de voir que l'application est un isomorphisme de espaces vectoriels et donc que ainsi pour établir que la famille en est une base,il suffit de montrer qu'elle est libre:
CQFD
Sauf erreurs bien entendu
Pour des raisons peut être subtiles, je définirai la subdivision comme une famille d'ouverts et non de fermés, mais ca importe peu ici.
Merci elhor pour cette reponse ultra precise, j'avais bossé dessus cette nuit et j'en étais arrivé aux memes delta i que toi mais sans utiliser la fonction indicatrice donc je trouve immediatement l'unicité.
Pour la base je me suis empetré a faire famille libre et generatrice mais bon ca se fait je pense plutot que ta methode est mieux donc merci beaucoup.
Du coup j'ai avancé dans le sujet et je voudrais soumettre l'une de mes reponses :
Soient u,v et w trois reels tels que u<v<w. Soit g une fonction de R dans R continue, nulle en dehors de ]u,w[, affine sur [u,v] et sur [v,w] et telle que g(v)=1. Il faut trouver des reels tels que pour tout x g(x)=|x-u|+|x-v|+|x-w|.
personnelement j'ai trouvé
mais pas de condition sur donc ca m'embete mais je ne dois pas etre loin...
Sinon, on note la fonction definie sur [a,b] par
La famille est une base (je l'ai montré)
et je dois donner la matrice de passage de a .
Pour ce faire j'ai voulu reutiliser une formule que j'ai trouvé en montrant que est generatrice et l'utiliser pour les \phi mais c'est assez compliqué, y a-t-il mieux ?
Voila voila je voudrais juste un avis merci
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