Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau autre
Partager :

exo fctions affines

Posté par jacko78 (invité) 03-10-05 à 21:49

Bonsoir, je rencontre un certains nombre de problemes dans un devoir, et donc je vais poser ici ma premiere question en esperant avoir une reponse qui me permette d'avancer, si ce n'est pas le cas je reposterai...

Voila le sujet :

On rappelle qu'une fonction f definie sur un intervalle [c,d] de R est affine s'il existe des reels A et B tel que pour tout x de [c,d], f(x)=Ax+B.

Soit [a,b] un intervalle de R, on note C([a,b]) le R_espace vectoriel des fonctions continues sur [a,b] a valeurs reelles. Soit n un entier naturel non nul et soient a0,a1,...,an-1,an (n+1) reels tels que : a=a0<a1<...<an-1<an=b

Ils definissent une subdivision de l'intervalle [a,b] en n intervalles [ai,ai+1], pour i de 0 a n.

On considere E le sous ensemble de C([a,b]) formé par les fonctions f : [a,b] -> R dont les restrictions a chaque intervalles  [ai,ai+1] sont affines.

1° Soit i un entier tel que 0in. Montrer qu'il existe un unique élément \delta_i de E verifiant \delta_i(a_i)=1 et pour tout ji, \delta_i(a_j)=0

2° On pose B=(\delta_0,\delta_1,...,\delta_n), montrer que B est une base de E.

voila merci beaucoup si qqn peut m'aider que je puisse continuer...

Merci a tous

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re:exo fonctions affines 04-10-05 à 02:54

Bonsoir jacko78;
(*)Si A est une partie de \mathbb{R},notons _{A} la fonction indicatrice de A définie par:
_{A}(x)=\{{1\hspace{5}si\hspace{5}x\in A\\0\hspace{5}sinon.

Existence:
prendre:
\delta_0{:}x\to\frac{a_1-x}{a_1-a}_{[a,a_1]}(x).
\delta_n{:}x\to\frac{x-a_{n-1}}{b-a_{n-1}}_{[a_{n-1},b]}(x)
et pour 1\le i\le n-1
\delta_i{:}x\to\frac{x-a_{i-1}}{a_i-a_{i-1}}_{[a_{i-1},a_i[}(x)+\frac{a_{i+1}-x}{a_{i+1}-a_i}_{[a_{i},a_{i+1}]}(x)
Unicité:
Soient \delta_i et \delta'_i deux applications de E vérifiant la condition ci dessus.Leur différence \delta''_i est une application continue sur [a,b] vérifiant:
3$\fbox{\forall j\in\{0,..,n\}\\\delta''_i(a_j)=0} et vu que 3$\fbox{\forall j\in\{0,..,n-1\}\\\delta''_i/_{[a_j,a_{j+1}]}\hspace{5}est\hspace{5}affine} on a que 3$\fbox{\forall j\in\{0,..,n-1\}\\\delta''_i/_{[a_j,a_{j+1}]}\hspace{5}est\hspace{5}nulle} et donc qu'elle est nulle sur [a,b] tout entier c'est à dire que 3$\fbox{\delta_i=\delta'_i}. CQFD

Il est facile de voir que l'application 3$\fbox{\Phi{:}E\to{\mathbb{R}}^{n+1}\\\delta\to(\delta(a_0),..,\delta(a_n))} est un isomorphisme de \mathbb{R}-espaces vectoriels et donc que 3$\fbox{dim(E)=n+1} ainsi pour établir que la famille (\delta_0,..,\delta_n) en est une base,il suffit de montrer qu'elle est libre:
3$\fbox{\Bigsum_{i=1}^{n}\alpha_{i}\delta_i=0\Longrightarrow\{{\forall j\in\{0,..,n\}\\\Bigsum_{i=1}^{n}\alpha_{i}\delta_i(a_j)=0}\Longrightarrow\{{\forall j\in\{0,..,n\}\\\alpha_{j}=0} CQFD

Sauf erreurs bien entendu

re:exo fonctions affines

Posté par
otto
re : exo fctions affines 04-10-05 à 03:31

Pour des raisons peut être subtiles, je définirai la subdivision comme une famille d'ouverts et non de fermés, mais ca importe peu ici.

Posté par jacko78 (invité)re : exo fctions affines 04-10-05 à 13:24

Merci elhor pour cette reponse ultra precise, j'avais bossé dessus cette nuit et j'en étais arrivé aux memes delta i que toi mais sans utiliser la fonction indicatrice donc je trouve immediatement l'unicité.
Pour la base je me suis empetré a faire famille libre et generatrice mais bon ca se fait je pense plutot que ta methode est mieux donc merci beaucoup.

Du coup j'ai avancé dans le sujet et je voudrais soumettre l'une de mes reponses :

Soient u,v et w trois reels tels que u<v<w. Soit g une fonction de R dans R continue, nulle en dehors de ]u,w[, affine sur [u,v] et sur [v,w] et telle que g(v)=1. Il faut trouver \alpha \beta \gamma des reels tels que pour tout x g(x)=\alpha|x-u|+\beta|x-v|+\gamma|x-w|.

personnelement j'ai trouvé \gamma=\frac{1}{2(w-v)}
                           \alpha=\frac{1}{2(v-u)}
mais pas de condition sur \beta donc ca m'embete mais je ne dois pas etre loin...

Sinon, on note \phi_i la fonction definie sur [a,b] par \phi_i(x)=|x-a_i|
La famille C=(\phi_0,\phi_1,...,\phi_n) est une base (je l'ai montré)
et je dois donner la matrice de passage de B a C.
Pour ce faire j'ai voulu reutiliser une formule que j'ai trouvé en montrant que B est generatrice et l'utiliser pour les \phi mais c'est assez compliqué, y a-t-il mieux ?

Voila voila je voudrais juste un avis merci

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : exo fctions affines 04-10-05 à 14:18

Bonjour;
je trouve plutot:
4$\fbox{\alpha=\frac{1}{2(v-u)}\\\beta=-\frac{1}{2(v-u)}-\frac{1}{2(w-v)}\\\gamma=\frac{1}{2(w-v)}} (à vérifier)




Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !