Bonjour
voila j'ai un exercice sur lequel je travaille depuis un bon bout
de temps et je commence a etre demoraliser. voila lenonce :
a>0, b>0, c>0
((a+b+c)/3)^3>=abc
question : demontrer que legalite n'a lieu que si a=b=c

** message déplacé **

Bonjour
voila j'ai un exercice sur lequel je travaille depuis un bon bout

de temps et je commence a etre demoraliser. voila lenonce :  
a>0, b>0, c>0
((a+b+c)/3)^3>=abc
question : demontrer que legalite n'a lieu que si a=b=c

** message déplacé **

personne ne veut m'aider?????

bonjour

je vais vous donner une solution qui utilise la concavité de la fonction
logaritme.

Je sais que ce n'est pas dans votre programme mais c'est tout
ce que j'ai trouvé pour l'instant.

la propriété à utiliser pour une fonction concave est la suivante:

si f est concave et les (ai) sont des réels positifs de [0,1] tels que


a1+...+an=1

alors

(P1)    f(x1.a1+...+xn.an)>= a1.f(x1)+...+an.f(xn)

(P2)   il ya égalité ssi x1=...xi=...=xn

Voila

je vais appliquer la propriété (P1) à la fonction logarithme ln pour
montrer l'inégalité. Ensuite la propriété (P2) pour montrer
l'égalité des xi entraine l'égalité des deux membres de
l'inégalité.


1) l'inégalité en utilisant (P1):

les ai=1/3 et l'on a 1/3+1/3+1/3=1

donc

ln(a/3+b/3+c/3)>=1/3.ln(a)+1/3ln(b)+1/3ln(c)

ssi ln((a+b+c)/3)>=1/3(ln(a)+ln(b)+ln(c))

ssi 3ln((a+b+c)/3)>=ln(abc)

ssi ln(((a+b+c)/3)^3)>=ln(abc)

ssi ((a+b+c)/3)^3>=abc

2) l'égalité en utilisant (P2).

c'est trivial  1/3+1/3+1/3=1 d'après P2 il y a égalité ssi a=b=c.

voila

je ne suit pas sûr que j'ai répondu à votre question vue ton niveau.
Mais j'ai tenu à vous livrer cette démonstration pour votre
curiosité.

je vais continuer à charcher autre chose de votre niveau.

bon courage