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Exo intégrale

Posté par
Adam68 02-02-21 à 12:33

Bonjour à tous,

Je n'arrive pas à trouver l'erreur dans le raisonnement de mon exercice sur les intégrales.

\int_{0}^{1}{x.e^{x²+1}} dx

J'ai décidé de faire une intégration par partie, j'utilise donc la formule suivante : \int_{a}^{b}{u.v'} dx = [u.v]^{b}_{a} - \int_{a}^{b}{u'.v}dx


Je pose :
u = x                      -->   u' = 1                                        
v = e^{x²+1}            <--   v' = e^{x²+1}


Ce qui me donne :
\int_{0}^{1}{x.e^{x²+1}}      =     [x.e^{x²+1}]^{1}_{0} - \int_{0}^{1}{1.e^{x²+1}}   =  [x.e^{x²+1}]^{1}_{0} + \int_{1}^{0}{e^{x²+1}}      =    [x.e^{x²+1}]^{1}_{0} + [e^{x²+1}]^{0}_{1}  
= 1.e2 + (e1 - e2)
= e1


Je vous remercie d'avance pour votre aide

Posté par
heklare : Exo intégrale 02-02-21 à 12:39

Bonjour

pas question  d'IP  c'est tout simplement de la forme \dfrac{1}{2}u'\text{e}^u

Posté par
Adam68re : Exo intégrale 02-02-21 à 13:07

Bonjour,

Merci pour votre réponse.

Je n'ai pas cette formule dans mon formulaire et je ne sais pas si je peux utiliser une formule non apprise .

Du coup, il n'est donc pas possible de résoudre cette intégrale par la méthode de l'intégration par partie c'est bien cela ?

Posté par
heklare : Exo intégrale 02-02-21 à 13:20

N'avez-vous pas vu  \left(\text{e}^u\right)'=u'\text{e}^u ?

Il n'y a que cela d'utiliser  en la lisant dans l'autre sens

Ce que vous avez écrit est d'ailleurs faux

Si la dérivée de x\mapsto \text{e}^x est   x\mapsto \text{e}^x

il n'en est pas de même de x\mapsto\text{e}^{u(x)}

(\text{e}^{x^2+1})'=2x\text{e}^{x^2+1}

Posté par
Adam68re : Exo intégrale 02-02-21 à 14:41

hekla @ 02-02-2021 à 13:20

N'avez-vous pas vu  \left(\text{e}^u\right)'=u'\text{e}^u ?


En effet je connais cette formule mais je n'ai malheureusement pas compris comment je dois l'utiliser pour trouver la primitive. D'où vient le 1/2 ?

hekla @ 02-02-2021 à 12:39



\dfrac{1}{2}u'\text{e}^u



Pour finir, merci d'avoir relever mon erreur concernant la primitive de e^{x²+1}. Je pensais en effet que ex et eu(x) avait la même primitive. Par contre, je ne sais pas comment la trouver pour e^{x²+1}.
Dois-je, comme avec les dérivées, intégrer chaque élément ? Càd écrire l'intégrale de e^u multiplé de l'intégrale de (x²+1) ) ?

Merci d'avance

Posté par
heklare : Exo intégrale 02-02-21 à 14:51

On sait que (en faisant des abus de langage)  \text{e}^{x^2+1}  a pour dérivée  2x\text{e}^{x^2+1}

par conséquent une primitive de 2x\text{e}^{x^2+1} est \text{e}^{x^2+1}

or vous n'avez pas 2x mais x  qu'à cela ne tienne  on va écrire que 1 =\dfrac{1}{2}\times 2

d'où x\text{e}^{x^2+1} =\dfrac{1}{2}\times  2x\text{e}^{x^2+1}

Comme on sait qu'une primitive de \lambda f est \lambda F (notation habituelle f la fonction F une primitive), il n'ya presque plus de problème

Posté par
Adam68re : Exo intégrale 02-02-21 à 14:53

Je viens de réaliser que vous appliquez l'intégration par changement de variable pour trouver la primitive de \int_{0}^{1}{x.e^{x²+1}} dx

On pose u = 2x
du/dx = (2x)' = 2
<=> dx = du/2

\int e^{u} \frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int e^{u} du = \frac{1}{2} \frac{e^{u}}{ln e} + c = \frac{1}{2} e^{u} + c = \frac{1}{2} e^{2x} + c

Donc j'ai pu répondre à ma première question, vous pouvez tout de même confirmer pour que je sois certain de ne pas dire de betise.


Par contre pour cette deuxième question, je n'ai vraiment aucune idée:

Adam68 @ 02-02-2021 à 14:41


Pour finir, merci d'avoir relever mon erreur concernant la primitive de e^{x²+1}. Je pensais en effet que ex et eu(x) avait la même primitive. Par contre, je ne sais pas comment la trouver pour e^{x²+1}.
Dois-je, comme avec les dérivées, intégrer chaque élément ? Càd écrire l'intégrale de e^u multiplé de l'intégrale de (x²+1) ) ?  

Posté par
heklare : Exo intégrale 02-02-21 à 15:18

Absolument pas il n'y a pas de changement de variable tout juste un changement de notation pour faciliter la rédaction

j'applique la définition   \left(\text{e}^u\right)'=u'\text{e}^u

avec u(x)=x^2+1  d'où u'(x)=2x

donc  \left(\text{e}^{x^2+1}\right)'=2x\text{e}^{x^2+1}

si F a pour dérivée f alors une primitive de f est F

Maintenant on connaît une primitive de 2x\text{e}^{x^2+1} c'est \text{e}^{x^2+1}

On va donc  considérer que 1= \dfrac{1}{2} \times 2

on a alors à déterminer une primitive de \dfrac{1}{2} u'\text{e}^u on sait donc que c'est \dfrac{1}{2}\text{e}^{u}

Il en résulte  qu'une primitive de x\text{e}^{x^2+1} est \dfrac{1}{2}\text{e}^{x^2+1}


\displaystyle \int_0^1x\text{e}^{x^2+1}\mathrm{d}x=\dfrac{1}{2}\int_0^1 2x\text{e}^{x^2+1}\mathrm{d}x=\dfrac{1}{2}\left[\text{e}^{x^2+1}\right]_0^1

Quant à la deuxième question : comme il est manifeste que la dérivée d'un produit
n'est pas le produit  des dérivées l'intégrale d'un produit n'est pas le produit des intégrales

Posté par
Adam68re : Exo intégrale 02-02-21 à 21:49

Je crois avoir compris !  

Merci pour vos explications, je vais remettre ça pour écrit pour que ça rentre mieux !

Posté par
heklare : Exo intégrale 02-02-21 à 21:54

S'il reste des passages obscurs  n'hésitez pas

De rien


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