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exo lignes de niveau

Posté par jonathan_normand (invité) 11-11-05 à 16:45

voila, j'ai essayé de simplifier f(M) en décomposant par chasles, mais il me reste tjourours une expression de fin de ouf, d'autre part, le coté géométrique des lignes de niveau ne me saute pas du tout aux yeux, càd je comprend pas du tout ce que que l'on doit trouver.

"Soit ABC un triangle équilatéral du plan P. On note a la longueur des cotés du triangle.
1- Décrire leslignes de niveau de l'application f de P dans R qui a un pt M € P associe f(M)= MA²+MB²+MC²
2-Quelle est la plus petite valeur prise par f ?  "
merci d'avance

Posté par jonathan_normand (invité)re : exo lignes de niveau 12-11-05 à 14:41

jusqu'ici g trouvé f(M)= BA²+AB.CA+AB.MA+2MA²+MC.MA+MC.AC

Posté par
franzre : exo lignes de niveau 12-11-05 à 15:42

Il faut introduire l'isobarycentre G de ABC.

\array{f(M) & = & || \vec{MG}+\vec{GA}||^2+|| \vec{MG}+\vec{GB}||^2+|| \vec{MG}+\vec{GC}||^2 \\ & = & \(\vec{MG}+\vec{GA}\)^2+\(\vec{MG}+\vec{GB}\)^2+\(\vec{MG}+\vec{GC}\)^2 \\ & = & 3\,\vec{MG}^2\;+\;2\,\vec{MG}\,.\,\underbrace{ \(\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}\)}_{\large \vec 0}\;+\;\vec{GA}^2+\vec{GB}^2+\vec{GC}^2 \\ & = &\large 3\,\vec{MG}^2\;+\;\vec{GA}^2+\vec{GB}^2+\vec{GC}^2

Les lignes de niveaux (f(M) = cte) sont donc des cercles de centre G.

La valeur minimale de f est obtenue lorsque M = G f(G) = \vec{MG}^2\;+\;\vec{GA}^2+\vec{GB}^2+\vec{GC}^2

Posté par jonathan_normand (invité)re : exo lignes de niveau 12-11-05 à 19:12

wow, un iso barycentre, j'aurais jamais trouver... merci bcp

Posté par
franzre : exo lignes de niveau 12-11-05 à 23:13

Avec plaisir


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