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Exo limites et suites

Posté par Profil muriellesym 16-02-20 à 16:45

Bonjour, j'ai un problème avec l'exercice suivant :

Soit f(x) = 2x^3 + 3x^2 -n la fonction définie pour tout n \in \mathbb{N}, n \ge 2.

1. Montrer que f(x) = 0 admet une unique solution notée u_n telle que u_n \ge 0

2. Déterminer le sens de variation de la suite (u_n)

3. Montrer que (u_n) diverge vers +\infty

Posté par Profil muriellesymre : Exo limites et suites 16-02-20 à 16:47

Donc pour la 1 j'ai réussi à le montrer en utilisant le corollaire généralisé du TVI avec la dérivée en calculant les limites en + ou - l'infini

Posté par
FerreSucrere : Exo limites et suites 16-02-20 à 16:47

Tu peux essayer de faire un tableau de variation ainsi tu verras si il y'a une solution ou non ! (Pour la question 1)

Posté par
FerreSucrere : Exo limites et suites 16-02-20 à 16:48

Pardon je n'avais pas vue ton message

Posté par Profil muriellesymre : Exo limites et suites 16-02-20 à 16:51

Mais pour la 2, je voulais utiliser le sens de variation de la fonction sur [0;+\infty[ en disant que 2x^3 + 3x^2 - n \ge 2x^3 + 3x^2 - n -1
donc f(u_n) \ge f(u_{n+1}) et que donc u_n \ge u_{n+1} car f croissante sur  [0;+\infty[ mais le problème c'est que (u_n) est croissante, pas décroissante, donc c'est faux

Posté par Profil muriellesymre : Exo limites et suites 16-02-20 à 17:02

Une idée sur l'origine de l'erreur ?

Posté par
FerreSucrere : Exo limites et suites 16-02-20 à 17:29

Oui car la fonction est :

f(x) = 2x^3 + 3x²-n

Et la suite est f(x) = 0
Donc :

2x^3 +3x²-n = 0
2x^3 + 3x² = n

..... essaye de voir ce que tu peux en tirer !

Posté par Profil muriellesymre : Exo limites et suites 16-02-20 à 17:42

??

Posté par Profil muriellesymre : Exo limites et suites 16-02-20 à 17:42

Je ne vois pas vraiment où vous voulez en venir

Posté par
FerreSucrere : Exo limites et suites 16-02-20 à 17:52

La suite est :
f(x) = 0

Avec n>= 2. C'est la solution x qui est cherché en gros :
n = 2 \iff x_0 = ...
n = 3 \iff x_1 = ....

n = n \iff x_n = ...

Et donc c'est ça la suite. C'est la valeurs de f(x) = 0 (je sais pas si tu as compris ?)

Posté par Profil muriellesym[Limites terminale] 16-02-20 à 17:52

Désolée pour ce re-post mais est-ce que quelqu'un pourrait essayer de m'aider sur cet exercice :

https://www.ilemaths.net/sujet-exo-limites-et-suites-841059.html#msg7560537

Merci !

*** message déplacé ***

Posté par
malou Webmasterre : Exo limites et suites 16-02-20 à 17:57

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q02 - Personne n'a répondu à ma question. Puis-je la reposter à nouveau ?


attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q03 - Pourquoi ne faut-il pas faire du ''multi-post'' ?


attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q30 - J'ai été averti ou banni, pourquoi, et que faire ?

Posté par Profil muriellesymre : Exo limites et suites 16-02-20 à 17:59

Merci pour votre intervention malou. J'ai l'impression que FerreSucre ne comprend pas vraiment mon problème. Avez vous une idée ?

muriellesym @ 16-02-2020 à 16:51

Mais pour la 2, je voulais utiliser le sens de variation de la fonction sur [0;+\infty[ en disant que 2x^3 + 3x^2 - n \ge 2x^3 + 3x^2 - n -1
donc f(u_n) \ge f(u_{n+1}) et que donc u_n \ge u_{n+1} car f croissante sur  [0;+\infty[ mais le problème c'est que (u_n) est croissante, pas décroissante, donc c'est faux

Posté par
lafol Moderateurre : Exo limites et suites 16-02-20 à 18:18

Bonjour
attention, il y a en fait autant de fonctions f que de valeurs de n


tu sais que 2u_{n+1}^3 + 3u_{n+1}^2 - (n+1) =0 et 2u_{n}^3 + 3u_{n}^2 - (n) =0

as-tu essayé de soustraire membre à membre ces deux égalités ? tu devrais pouvoir mettre en facteur u_{n+1} - u_n au début, et on verra s'il y a quelque chose à en tirer

Posté par
FerreSucrere : Exo limites et suites 16-02-20 à 18:22

Je suis pas trop sûr de ce que je vais faire mais voilà on a l'équation f(x) = 0

2x^3 + 3x² = n

g(x) = 2x^3 + 3x²
g'(x) = 6x²+ 6x = 6x(x+1)

Donc g est croissante à partir de x = -1

2x^3 + 3x² = n

Plus n grandi plus x doit être grand. Pour que la partie de gauche soit plus grande il faut que x soit plus grand car g croissante.

f(x) = 0
x_n < x_{n+1}

Normalement c'est ça, j'ai pas trop étudié les suite d'équations de fonction mais je suppose que c'est cela.

Posté par
FerreSucrere : Exo limites et suites 16-02-20 à 18:23

Euh zut pardon c'est vrai que la solution de l'équation :
f(x) = 0 est U_n

Donc :
U_n < U_{n+1}

Posté par Profil muriellesymre : Exo limites et suites 16-02-20 à 18:23

Oui mais elles ont toutes les mêmes variations car n est juste une constante.
C'est une suite implicite, c'est pour ça que je voulais procéder de cette manière car en faisant u_{n+1} - u_n on ne peut pas exploiter les variations de la fonction

Posté par
FerreSucrere : Exo limites et suites 16-02-20 à 18:29

Pardon petite erreur

g(x) est croissante à partir de 0 et :
n \in \N

Posté par Profil muriellesymre : Exo limites et suites 16-02-20 à 18:31

muriellesym @ 16-02-2020 à 16:51

Mais pour la 2, je voulais utiliser le sens de variation de la fonction sur [0;+\infty[ en disant que 2x^3 + 3x^2 - n \ge 2x^3 + 3x^2 - n -1
donc f(u_n) \ge f(u_{n+1}) et que donc u_n \ge u_{n+1} car f croissante sur  [0;+\infty[ mais le problème c'est que (u_n) est croissante, pas décroissante, donc c'est faux


lafol Voyez-vous une erreur avec cette méthode ?

Posté par
malou Webmasterre : Exo limites et suites 16-02-20 à 18:48

j'ai tracé h(x)=2x^3+3x^2
et ai fait couper la courbe par y=n
cela revient à résoudre 2x^3+3x^2=n soit f(x)=0

u_n est l'abscisse (positive) du point d'intersection de la courbe (verte) avec la droite "horizontale"

Exo limites et suites

Posté par Profil muriellesymre : Exo limites et suites 16-02-20 à 18:50

Oui, on voit effectivement que u_n est croissante, mais j'ai eu du mal à le montrer

muriellesym @ 16-02-2020 à 16:51

Mais pour la 2, je voulais utiliser le sens de variation de la fonction sur [0;+\infty[ en disant que 2x^3 + 3x^2 - n \ge 2x^3 + 3x^2 - n -1
donc f(u_n) \ge f(u_{n+1}) et que donc u_n \ge u_{n+1} car f croissante sur  [0;+\infty[ mais le problème c'est que (u_n) est croissante, pas décroissante, donc c'est faux

Posté par
carpediemre : Exo limites et suites 16-02-20 à 18:56

salut

muriellesym @ 16-02-2020 à 16:47

Donc pour la 1 j'ai réussi à le montrer en utilisant le corollaire généralisé du TVI avec la dérivée en calculant les limites en + ou - l'infini
bof ..

il est trivial que f(0) = -n et que f(n) = ... > n > 0

on peut remarquer qu'il n'y a pas besoin de 2/ pour répondre à 3/ ...

Posté par
carpediemre : Exo limites et suites 16-02-20 à 19:02

avec les notations et interventions précédentes on peut remarquer que

g(1) = 5 <=> f(1) = 0 (pour n = 5)

n \ge 5 => u_n \ge 1

si x > 1 alors 5x^2 \le g(x) \le 5x^3 donc u_n \in \left[ \sqrt[3] {\dfrac n 5} , \sqrt {\dfrac n 5\right] = I_n ...

sauf que les intervalles I_n ne sont pas disjoints et ne permettent pas de conclure quant à la monotonie de la suite ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Exo limites et suites 16-02-20 à 19:06

Bonjour,
Précisons les choses : Quand on écrit f(x) il s'agit de f(x) = 2x^3 + 3x^2 -n.

Ton erreur : f(u_n) \ge f(u_{n+1}) est faux.

f(un+1) = 2(un+1))3 + 3(un+1))2 - n
Et on sait que 2(un+1))3 + 3(un+1))2 - (n+1) = 0

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Exo limites et suites 16-02-20 à 19:09

On peut trouver le sens de variation de la suite (un) en utilisant f croissante sur [0;+[, ou en utilisant la méthode de lafol à 18h18.

Posté par Profil muriellesymre : Exo limites et suites 16-02-20 à 19:11

f est croissante sur ]-\infty;-1[, décroissante ]-1;0[ et croissante sur ]0;+\infty[. (u_n) est la suite qui a pour elements les solutions de f_n(x) = 0

f(u_n) = 2x^3 + 3x^2 -n
f(u_{n+1}) = 2x^3 + 3x^2 -n-1

2x^3 + 3x^2 -n \ge 2x^3 + 3x^2 -n-1 \iff f(u_n)\gef(u_{n+1}).
Or f est strictement croissante sur ]0;+\infty[.
Donc u_n \ge u_{n+1}

Le problème c'est que ce résultat est faux. (u_n) devrait être croissante

Posté par
FerreSucrere : Exo limites et suites 16-02-20 à 19:13

Ma méthode était bonne sinon ? Il me semble. Pas très classes certes.

Posté par Profil muriellesymre : Exo limites et suites 16-02-20 à 19:13

Sylvieg @ 16-02-2020 à 19:06

Bonjour,
Précisons les choses : Quand on écrit f(x) il s'agit de f(x) = 2x^3 + 3x^2 -n.

Ton erreur : f(u_n) \ge f(u_{n+1}) est faux.

f(un+1) = 2(un+1))3 + 3(un+1))2 - n
Et on sait que 2(un+1))3 + 3(un+1))2 - (n+1)  = 0


Ah d'accord

Posté par Profil muriellesymre : Exo limites et suites 16-02-20 à 19:20

Mais je n'ai pas trop compris pourquoi f(u_{n+1}) \ge f(u_n)

Posté par Profil muriellesymre : Exo limites et suites 16-02-20 à 19:20

Comment peut on le montrer ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Exo limites et suites 16-02-20 à 19:32

Tu as plus ou moins écrit

Citation :
f(u_n) = 2u_n^3 + 3u_n^2 -n

f(u_{n+1}) = 2u_{n+1}^3 + 3u_{n+1}^2 -n-1

La seconde égalité est fausse car f(x) = 2x^3 + 3x^2 -n.

Et moi, j'ai écrit
Citation :
Et on sait que 2(un+1)3 + 3(un+1)2 - (n+1) = 0


Essaye d'utiliser les 3 bonnes égalités pour comparer f(un) et f(un+1)

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Exo limites et suites 16-02-20 à 19:34

En fait f(un) = 0 est évident.
Et f(un+1) est un réel très simple.

Posté par Profil muriellesymre : Exo limites et suites 16-02-20 à 19:35

mais quelle est la difference entre (-n-1) et -(n+1) ?

Posté par Profil muriellesymre : Exo limites et suites 16-02-20 à 19:38

Sylvieg @ 16-02-2020 à 19:34

En fait f(un) = 0 est évident.
Et f(un+1) est un réel très simple.


Mais vous avec écrit que 2(u_{n+1})3 + 3(u_{n+1})2 - (n+1) = 0
alors f(u_{n+1}) = 0 non ?

Posté par Profil muriellesymre : Exo limites et suites 16-02-20 à 19:39

* 2(u_{n+1})^3 + 3(u_{n+1})^2 - (n+1) = 0

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Exo limites et suites 16-02-20 à 19:48

alors f(u_{n+1}) = 0 non ?
Non

Citation :
Précisons les choses : Quand on écrit f(x) il s'agit de f(x) = 2x^3 + 3x^2 -n.

Posté par Profil muriellesymre : Exo limites et suites 16-02-20 à 19:51

f(u_{n+1}) = 2(u_{n+1})^3 = 3(u_{n+1})^2 - (n+1)
et vous avez écrit plus haut que

Sylvieg @ 16-02-2020 à 19:06


Et on sait que 2(un+1))3 + 3(un+1))2 - (n+1)  = 0

Posté par Profil muriellesymre : Exo limites et suites 16-02-20 à 19:52

Je ne suis pas sûre de comprendre

Posté par Profil muriellesymre : Exo limites et suites 16-02-20 à 20:10

Bon, déjà f(u_n) = 0 car on sait par définition que u_n est la solution de f(x) = 0, donc c'est vrai qu'on peut se dire que f(u_{n+1}) \ge 0, mais c'est le serpent qui se mord la queue car pour dire que f(u_{n+1}) \ge f(u_{1}), il faut dire que f est croissante et que u_{n+1} \ge u_n, ce qu'on cherche à montrer

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Exo limites et suites 16-02-20 à 20:32

Le problème vient de l'énoncé.
Il aurait été préférable de noter f_n la fonction définie par \;f_n(x) = 2x^3 + 3x^2 -n .
Avec u_n le réel solution de f_n(x) = 0

f_n(u_n) = 0 \; et \; f_{n+1}(u_{n+1}) = 0

f_n(u_{n+1}) = 2(u_{n+1})^{3} + 3(u_{n+1})^{2} - n
Alors que

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Exo limites et suites 16-02-20 à 20:36

Oups, parti trop vite.
Alors que f_{n+1}(u_{n+1}) = 2(u_{n+1})^{3} + 3(u_{n+1})^{2} - (n+1) = 0

Donc f_n(u_{n+1}) = ?

Posté par
carpediemre : Exo limites et suites 16-02-20 à 20:39

de toute façon le pb c'est que f dépend de n ...

posons f_n(x) = h(x) - n = 2x^3 + 3x^2 - n

et soit u et v tels que f_n(u) = f_{n + 1}(v) = 0 (pour ne pas trainer des indices n et n + 1

par soustraction (comme lafol le préconisait) on obtient :

3(v - u)(v^2 + vu + u^2) + 2(v - u)(v + u) = 1 \iff (v - u) (3v^2 + 3vu + 3u^2 + 2u + 2v) = 1

le deuxième facteur est positif donc la règle des signes permet de conclure ...

Posté par Profil muriellesymre : Exo limites et suites 16-02-20 à 20:55

Sylvieg @ 16-02-2020 à 20:36

Oups, parti trop vite.
Alors que f_{n+1}(u_{n+1}) = 2(u_{n+1})^{3} + 3(u_{n+1})^{2} - (n+1) = 0

Donc f_n(u_{n+1}) = ?


f_n(u_{n+1}) = 0 ?

Posté par Profil muriellesymre : Exo limites et suites 16-02-20 à 21:01

Ah non,

f_n(u_{n+1}) = 1

Posté par Profil muriellesymre : Exo limites et suites 16-02-20 à 21:03

Donc f_n(u_n) = 0 \le f_n(u_{n+1}) = 1

Posté par Profil muriellesymre : Exo limites et suites 16-02-20 à 21:03

Donc finalement, (u_n) est croissante

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Exo limites et suites 16-02-20 à 21:04

fn+1 fn

f_{n+1}(u_{n+1}) = 2(u_{n+1})^{3} + 3(u_{n+1})^{2} - (n+1) = 0

donc f_n(u_{n+1}) = 2(u_{n+1})^{3} + 3(u_{n+1})^{2} - n = ??

Si tu n'y arrives toujours pas, écris ce que vérifie u5 par exemple.
Puis écris f4(u5) et trouve sa valeur.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Exo limites et suites 16-02-20 à 21:05

Ben voilà !

Posté par Profil muriellesymre : Exo limites et suites 16-02-20 à 21:11

Donc (u_n) est croissante mais minorée. Est-ce que ça suffit pour prouver qu'elle ne converge pas ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Exo limites et suites 17-02-20 à 08:40

Bonjour,
Toute suite croissante est minorée par son premier terme.
Exemple : vn =2020 -1/(n+1)
La suite (vn) est croissante, minorée par 2019 et converge vers 2020.

Pour en revenir à notre suite (un), carpediem semblait avoir une idée.
Voir son message de 18h56 hier.

Je vais regarder de mon côté.

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