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exo n°5 DM --->pr mercredi c chaud chaud chaud
le plan est raporté au repere orthonormal (O,
,
), unite graphique 4cm
on appelle f l'application qui a tt complexe z different de -2i, associe le complexe:
z'=f(z)= (z-2+i)/(z+2i)
1.si z= x+ yi ,x et y étan deux réels, exprimer la parie reelle et la partie imaginaire de z' en fonction de x et y. En deduire la nature précise de :
a)l'ensemble (E) des points M d'affixe z du plan tels que z' soit un réel.
b)l'ensemble (F) des points M d'affixe z du plan tels que z' soit un imaginaire pur.
c)Représenté ces deux ensembles dans la meme repere
2.On appelle A et B les points d'affixes respectives Za=2-i et Zb=-2i
En remarquant que z'=(z-Za)/(z-Zb), retrouver les ensembles (E) et (F) par une méthode géométrique.
---> 1. on trouve z=((x(x-2)+y(y+3)+2)/(x^2+(y+2)^2)) +
((4+2y-x)i/(x^2+(y+2)^2))
aidé moi svp j'y arive pas
1. z=x+iy, x et y réels.
Pour déterminer la partie réelle et la partie imaginaire il ne faut plus avoir de "i" au dénominateur; on mulitplie donc par la quantité conjuguée:
et là tu peux donner explicitement la partie reelle et la partie imaginaire de z' en fonction de x et y.
a) z' réel <=> Im(z')=0
Or Im(z')=
z' reel <=> -x+2y+4 = 0
L'ensemble des points M(z) tq z' soit reel est une droite d'équation y = x/2 -2.
b) z' imaginaire pur <=> Re(z)=0
z' imaginaire pur <=> x²+y²-2x+3y+2 = 0
z' imaginaire pur <=> (x-1)²+(y+3/2)²-1-9/4+2 = 0
z' imaginaire pur <=> (x-1)²+(y+3/2)²=5/4
L'ensemble (F) des points M du plan tq z' soit imaginaire pur est un cercle de centre 
(1,-3/2) et de rayon .
c)représentation graphique
2. o n remarque que z' =
Dire que z' est réel signifie que son argument est 0 ou 
(ce point, dans un repère est situé sur l'axe des abscisses).
autrement dit:
z' reel <=> arg()=0 (mod(
)
cad: [
]
ce qui signifie encore, que les points A, M et B sont alignés.
(E) est donc la droite (AB) privée du point B (sinon dénominateur = 0)
De même: z' imaginaire pur, signifie quez M' est sur l'axe des ordonnées, cad arg(z')=/2 (mod().
cad: [
]
le triangle ABM est donc un triangle rectangle en M....l'ensemble des points M est donc le cercle de diamètre [AB].
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