Bonjour,

Voilà, j'apprécierais beaucoup une aide pour cet exercice de probas(surtout en ce qui concerne la loi binomiale...). Merci d'avance...


Trois boules de couleurs différentes sont réparties dans deux urnes U1 et U2: On effectue une succession de tirages
au hasard dans l'ensemble des couleurs; chaque couleur a la même probabilité d'être tirée et les tirages sont
indépendants. A l'issue de chaque tirage, la boule dont la couleur a été tirée est changée d'urne.
On suppose que le nombre de boules situées dans l'urne U1 avant le premier tirage est aléatoire et représenté
par la variable aléatoire X0.
Pour tout nombre entier naturel non nul n; on note Xn le nombre de boules situées
dans l'urne U après le n-ième tirage.
Les variables aléatoires Xn, où n 0; prennent leurs valeurs dans l'ensemble
I = {0; 1; 2; 3}



1. (a) Pour tout couple (i; j) d'éléments de I; calculer la probabilité conditionnelle pij pour que X1 = j
sachant que X0 = i. On écrira les résultats sous la forme d'une matrice P = p(i,j) et on vérifiera que,
pour tout élément i de I;
     3
     p(i,j)=1
     j=0

(b) On suppose que la loi de probabilité de X0 est une loi binomiale de parametres (3;1/2); notée B(3;1/2).
Quelle est la loi de probabilité de X1 ?


2. (a) Expliquez pourquoi la probabilité conditionnelle que X2 = j sachant qeu X1 = i vaut encore p(i,j)


3. Soit, pour tout nombre entier naturel non nul n; (p(i,j))^n la probabilité conditionnelle que Xn = j sachant que
X0 = i. Exprimer la matrice Pn = (p(i,j))^n à l'aide de P. Trouver la loi de Xn; quand la loi de X0 est B(3;1/2).


4. On note An l'évènement (X10,X20,...,X(n-1)0,Xn0)et q(i,n) la probabilité conditionnelle de An sachant que X0 = i. Calculer, pour tout entier i de I; les valeurs de q(i,n) pour n = 1; n = 2 et n = 3.