Bonjour a toutes et a tous, j'ai un exercice sur les probabilités a faire.
Et les proba ce n'est pas mon truc j'ai extrêmement de mal à comprendre les énoncés et à les utiliser pour pouvoir résoudre les exercices.

Voici l'énoncé de mon exercice j'ai réussis à faire toutes les questions sauf la dernière où je bloque. Je vais vous mettre pour chaque question ce que j'ai trouvé et j'aimerais que vous me dîtes si mon raisonnement est cohérent et si les réponses sont bonnes. Quant à la dernière question j'aimerais que vous me filiez un petit coup de pouce svp

l'énoncé:
Une société de gestion d'immeuble souhaite faire contrôler les chauffages de ses logements. 20% des chauffages sont sous garantie et, parmi les chauffages sous garantie, la probabilité qu'un chauffage soit en panne est de 0,01.
Parmi les chauffages qui ne sont plus sous garantie, la probabilité qu'un chauffage soit défectueux est de 0,1.
On appelle G l'événement suivant: "Le chauffage est sous garantie".

1)Calcule la probabilité des événements suivants:
a) A "Le chauffage est garanti et est défectueux"
b) B "Le chauffage est défectueux"

2)Dans un logement, les chauffages sont défectueux. Quelle est la probabilité qu'ils soient sous garanties?

3)Le contrôle est gratuit si les chauffages sons sous garantie.
Il coûte 80 euros si le chauffage n'est plus sous garantie et n'est pas défectueux.
Il coûte 280 euros si le chauffage n'est plus sous garantie et est défectueux.
On appelle X la variable aléatoire qui représente le coût du contrôle d'un chauffage. Détermine la loi de probabilité de X et son espérance mathématiques. Interpréter cette espérance.

4)La société fait contrôler n chauffages.
Dans cette question et cette question seulement, on suppose que n=30
a) Quelle est la probabilité que 4 chauffages soient défectueux?
b) Quelle est la probabilité qu'au moins 2 chauffages soient défectueux?
c) Combien y aura t-il de chauffages défectueux en moyenne?

5) Maintenant n est un entier naturel non déterminé. Combien de chauffages doivent être contrôler pour que la probabilité qu'au moins un chauffage soit défectueux soit égale 0,99?


Voici mes réponses:
1) a) P(G∩D)= P(G) x PG(D) = 0,20 x 0,01 = 0,002

b) G et G[barre] forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totale:
P(D)= P(G) x PG(D) + P(G[barre]) x PG[barre](D) = 0,20 x 0,01 + 0,80 x 0,1 = 0,082

2) PD(G)= P(G∩D)/P(D)= 0,002/0,082=(±)0,024

3) gratuit si chauffage sous garantie = P(G∩D) et P(G∩D[barre]) soit =P(G)=0,20
80€  si chauffage plus sous garantie et pas défectueux =  P(G[barre]∩D[barre]) = P(G[barre]) x PG[barre](D[barre])= 0,80 x 0,90 = 0,72
280€ si chauffage plus sous garantie et défectueux = P(G[barre]∩D)= P(G[barre]) x PG[barre](D) = 0,80 x 0,1 = 0,08

Soit la loi de probabilite est
0€  → proba 0,20
80€ → proba 0,72
280€ → proba 0,08

E(X)= 0,20 x 0 + 0,72 x 80 + 0,08 x 280 = 80
Le coût d'un contrôle d'un chauffage coûte en moyenne 80€

4) Il y a 30 répétitions dune épreuve de Bernoulli dont le succès est le chauffage est défectueux de probabilité p=0,082 dans des conditions identiques et indépendantes.
De plus, la variable aléatoire X compte le nombre de succès. Ainsi X suit la loi binomiale de paramètre n=30 et p=0,082

a) P(X=4)= (30;4) x 0,082*4 x (1-0,082)*(30-4) = (30;4) x 0,082*4 x 0,918*26 =(±)0,134

b) P(X≥2)= 1- P(X=0) - P(X=1)

P(X=0) = (30;0) x 0,082*0 x 0,918*30 =(±)0,077
P(X=1) = (30;1) x 0,082*1 x 0,918*29 =(±) 0,206

P(X≥2)= 1-0,077-0,206=0,717


c) Dans le cas d'une loi binomiale de paramètres n et p
E(X)= n x p = 30 x 0,082 = 2,46
Il y aura donc en moyenne 3 chauffages défectueux (car 2,46 >2 )

5) Je vais vous mettre ce que j'ai commence a faire pour cette question:
P(X≥1)= 0,99  et P(X≥1)= 1 - P(X=0)
soit 1 - P(X=0) = 0,99 soit P(X=0) = 0,01
soit (n;0) x 0,918*n = 0,01
Voila jusqu'où j'arrive après je ne sais plus quoi faire je suis bloquée

J'espère que vous allez pouvoir m'aider je vous remercie d'avance