Bonjour,
Voila, j'ai un problème concernant un exo. sur les produits scalaires, et utilisant un peu la méthode d'Euler. Donc ca serait super sympa si vous pourriez m'aider .

Voici l'enonce :

A, B, C, D sont 4 points quelconques.
Objectif : prouver que :

DC.AB + DA.BC + DB.CA  = 0 [1] (avec les fleches au dessus de DC, .. car ce sont des vecteurs.)
puis en déduire que les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes.

1. Ce qui surprend, c'est l'absence totale d'hypothése (aucun renseignement sur les vecteurs). Donc, deux possibilités seulement : soit transformer le premier membre pour arriver a 0, soit utiliser un repère orthonormal, ce que nous allons faire. Et ici, il n'y aura pas de calculs de coordonnées. Comme les points sont quelconques, il suffit de dire que les coordonnées de A sont (a1 ; a2), celles de B (b1 ; b2) , ...
dans un repère orthonormal.
Mais on peut faciliter les calculs en prenant l'un des quatres points comme origine et l'un des trois autres sur l'axe des abscisses.
L'examen de l'égéalité DC.AB + DA.BC + DB.CA = 0 suggère de prendre l'origine en D. Ensuite, on peut choisir A sur [Dx), d'ou A (a ; 0). nfin, on note ( x ; y ) et ( x' ; y' ) les coordonnées respectives de B et C.

a) Calculez les trois produits scalaires DC.AB, DA.BC et DB.CA .

b) Démontrez l'égalité.

2. Il reste a en deduire que les hauteurs d'un triangle sont concourantes.
faisons une figure. On dessine ABC et les hauteurs issues de B et C qui se coupent en H. Pour démontrer que les trois hauteurs sont concourantes, il suffit de démontrer que (AH) et (BC) sont perpendiculaires.

-> En utilisant l'égalité [1] (voir tout en haut), demontrez que (AH) et (BC) sont perpendiculaires. Concluez.

3. Rédigez une solution.

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Voila, j'ai preferé mettre l'enoncé en entier, les textes en gras, sont des genres d'aides pour l'exo. mais faut surtout bien redigé je pense. Mais pour l'instant, je ne sais pas comment m'y prendre ... donc si vous pouviez m'aider ca serait le top !!


Merci d'avance de votre aide .