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Niveau Maths sup
Exo racine nieme de lunite
Posté par Rasta--Rocket
Bonjours tous le monde.
Alors voila mon exo:
III) Racines niemes de l'unité
Soit n un entier supérieur à 2. On pose 
= exp(2i/n)
1. Exprimer les racines n(ieme) de l'unité en fonction de .
2. Factoriser le polynôme (X^(n))-1 par X-1.
3. En déduire que 1 + + 2 + • • • + ^(n-1) = 0.
4. Prouver que la somme des racines nièmes de l'unité est nulle. 5. Application : expliquer pourquoi l'on a
1 + cos(2
/5) + cos(4/5) + cos(6/5) + cos(8/5) = 0
En déduire que cos(2/5) est solution d'une équation de degré 2 et déterminer une valeur exacte
de cos(2/5).
Alors voila, je sais que les racines nieme de lunite sont z^n=1 et je sais que est une racine nieme de lunite parmis tans dautre (juste k change) mais que veu dire en fonction de ?
Bonjour,
Peux-tu nous donner la liste des racines n-ième de l'unité ? (avec k)
Le "k" ne peut-il pas se mettre en exposant du tout ?
Oui. Peut-être en arrêtant ta liste à n-1.
2. Cela n'a rien à voir avec les complexes.
(x^n - 1) = (x-1)(x^(n-1) + ... + x + 1)
Pourquoi les maths ressemblent a mes yeux a du chinoi?
alor pour le 1 S={^0; ^1; ^2; ...;^(n-1)}
mais = exp(2i/n) avec n>=2. Je comprend pas pourkoi c'est pas un complex!
Bonjour Nicolas
Tu as écrit : "Cela n'a rien à voir avec les complexes." C'est ce qui perturbe Rasta-Rocket, à mon avis...
Cordialement
Frenicle
2. Montre l'égalité que j'ai proposée.
Soit en développant le membre de droite.
Soit en reconnaissant la somme des termes d'une suite géométrique
Etc...
Sa marche si je met Soit P(n)=X^n -1
P(1)=X^1 -1
=1-1=0
Donc on peut factoriser X^n -1 par X-1
Donc comme X^n -1 =0 car vien de lequation X^n=1
P(n)= (X-1)(1+X+X^2+...X^(n-1)
Oui pour dire qu'on peut factoriser par X-1.
Mais comment montres-tu que le facteur est (1+X+X^2+...X^(n-1)) ?
ben je ne sai pa jai toujour fai comme sa
Par exemple si javai un polynome du 3eme degre:
p(x)= x^3-1
p(x)=(x-1)(ax^2+bx+c)
= ax^3+(b-a)x^2+ (c-b)x -c
Avec: a=1
b-a=0
c-b=0
-c=-1
p(x)=(x-1)(x^2+x+1)
Donc si p(x)=X^n -1
p(x)=(x-1)(X^(n-1)+....+x^2+x+1)
Mais autrement je ne sais pa comment expliquer d'une autre maniere que celle la
Je connais la méthode d'identification dont tu parles (avec a, b, c, etc...).
Mais je ne comprends pas comment tu l'utilises ici. Si tu peux me montrer la démonstration rédigée, vas-y. 
Autres méthodes :
(1) Développer (x-1)(x^(n-1)+....+x^2+x+1) >> tout se simplifie, sauf 2 termes
ou
(2) Reconnaître dans (x^(n-1)+....+x^2+x+1) la somme des termes d'une suite géométrique.
et bien jai preferer la premiere methode (developpement) je te remercie de mavoir bien aider et merci pour ta patience